《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例 2 (2025·唐山一模)已知某类考试中,有一种题型为多项选择题,每道题中有四个选项,其中有两个或三个选项正确.每道题所赋分值为 6 分,若有两个正确选项,则这两个选项中每个选项所赋分值为 3 分;若有三个正确选项,则这三个选项中每个选项所赋分值为 2 分.另外,有错误选项得 0 分.已知每道题有两个正确选项的概率为 $ m(m＞0) $.
(1) 设每道多项选择题所得分数为 $ X $,写出 $ X $ 的所有可能取值;X的所有可能取值为0,2,3,4,6.
(2) 对于一道多项选择题,已知选项 $ A $ 正确,考生甲选择了 $ A $,又在其余的三个选项中随机选择了一个选项,请写出考生甲此题得分 $ Y $ 的分布列和数学期望.分布列如下：期望值E(Y)=0×(1/3+1/3m)+4×(2/3-2/3m)+6×1/3m=2/3(4-m)

答案： 例2 【解答】
(1)$X$的所有可能取值为$0,2,3,4,6$.
(2)甲得分$Y$的可能取值为$0,4,6$.设事件$Q:Y = 0$；事件$F:Y = 4$；事件$G:Y = 6$.设事件$H$：此题有两个正确选项，则$\overline{H}$：此题有三个正确选项.①当此题有两个正确选项时，可能得$0$分，$6$分，则$P(Q|H)=\frac{2}{3}$，$P(G|H)=\frac{1}{3}$；②当此题有三个正确选项时，可能得$0$分，$4$分，则$P(Q|\overline{H})=\frac{1}{3}$，$P(F|\overline{H})=\frac{2}{3}$.综上所述，$P(Y = 0)=P(Q)=P(H)P(Q|H)+P(\overline{H})P(Q|\overline{H})=\frac{2}{3}m+\frac{1}{3}(1 - m)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}m$，$P(Y = 4)=P(F)=P(\overline{H})P(F|\overline{H})=\frac{2}{3}(1 - m)=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}m$，$P(Y = 6)=P(G)=P(H)P(G|H)=\frac{1}{3}m$.分布列如下：
$Y$ $0$ $4$ $6$
$P$ $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}m$ $\frac{2}{3}-\frac{2}{3}m$ $\frac{1}{3}m$
期望值$E(Y)=0 × (\frac{1}{3}+\frac{1}{3}m)+4 × (\frac{2}{3}-\frac{2}{3}m)+6 × \frac{1}{3}m=\frac{2}{3}(4 - m)$.

变式 2 (2025·浙江联考)盒子中有 3 个红球、4 个黑球,每次随机地从中取出一个球,观察其颜色后放回,并放入 5 个同色球,则第三次取出红球的概率为3/7.

答案： 变式2 $\frac{3}{7}$ 【解析】前两次取球有以下四种情况：(红,红)、(红,黑)、(黑,红)、(黑,黑).情况一：(红,红).第一次取红球的概率$P_1=\frac{3}{3 + 4}=\frac{3}{7}$，因为取完后放回并放入$5$个红球，此时盒子中有$3 + 5 = 8$(个)红球，$4$个黑球，共$8 + 4 = 12$(个)球.第二次取红球的概率$P_2=\frac{8}{12}$，第三次取红球的概率$P_{31}=\frac{13}{17}$所以这种情况下第三次取出红球的概率为$P_{(红红)}=\frac{3}{7} × \frac{8}{12} × \frac{13}{17}$.情况二：(红,黑).第一次取红球的概率$P_1=\frac{3}{3 + 4}=\frac{3}{7}$，取完后放回并放入$5$个红球，此时盒子中有$3 + 5 = 8$(个)红球，$4 + 5 = 9$(个)黑球，共$8 + 9 = 17$(个)球.第二次取黑球的概率$P_2=\frac{9}{12}$，第三次取红球的概率$P_{32}=\frac{8}{17}$.所以这种情况下第三次取出红球的概率为$P_{(红黑)}=\frac{3}{7} × \frac{4}{12} × \frac{8}{17}$.情况三：(黑,红).第一次取黑球的概率$P_1=\frac{4}{3 + 4}=\frac{4}{7}$，取完后放回并放入$5$个黑球，此时盒子中有$3$个红球，$4 + 5 = 9$(个)黑球，共$3 + 9 = 12$(个)球.第二次取红球的概率$P_2=\frac{3}{12}$，此时盒子中有$3 + 5 = 8$(个)红球，$9$个黑球，共$8 + 9 = 17$(个)球.第三次取红球的概率$P_{33}=\frac{8}{17}$.所以这种情况下第三次取出红球的概率为$P_{(黑红)}=\frac{4}{7} × \frac{3}{12} × \frac{8}{17}$.情况四：(黑,黑).第一次取黑球的概率$P_1=\frac{4}{3 + 4}=\frac{4}{7}$，取完后放回并放入$5$个黑球，此时盒子中有$3$个红球，$4 + 5 = 9$(个)黑球，共$3 + 9 = 12$(个)球.第二次取黑球的概率$P_2=\frac{9}{12}$，此时盒子中有$3$个红球，$9 + 5 = 14$(个)黑球，共$3 + 14 = 17$(个)球.第三次取红球的概率$P_{34}=\frac{3}{17}$.所以这种情况下第三次取出红球的概率为$P_{(黑黑)}=\frac{4}{7} × \frac{9}{12} × \frac{3}{17}$.故第三次取出红球的总概率$P = P_{(红红)} + P_{(红黑)} + P_{(黑红)} + P_{(黑黑)}=\frac{3}{7} × \frac{8}{12} × \frac{13}{17}+\frac{3}{7} × \frac{4}{12} × \frac{8}{17}+\frac{4}{7} × \frac{3}{12} × \frac{8}{17}+\frac{4}{7} × \frac{9}{12} × \frac{3}{17}=\frac{3 × 8 × 13 + 3 × 4 × 8 + 4 × 3 × 8 + 4 × 9 × 3}{7 × 12 × 17}=\frac{312 + 96 + 96 + 108}{7 × 12 × 17}=\frac{612}{7 × 12 × 17}=\frac{3}{7}$.