《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例1 - 1 如图，有一列曲线$P_{0}$，$P_{1}$，$P_{2}$，$·s$. 已知$P_{0}$所围成的图形是面积为1的等边三角形，$P_{k + 1}$是对$P_{k}$进行如下操作得到：将$P_{k}$的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉($k = 0$，1，2，$·s$). 记$S_{n}$为曲线$P_{n}$所围成图形的面积，则数列$\{ S_{n}\}$的通项公式为$S_{n}=\frac{8}{5}-\frac{3}{5}×(\frac{4}{9})^{n}$.

答案： 例1-1$S_{n}=\frac{8}{5}-\frac{3}{5}×(\frac{4}{9})^{n}$【解析】设$P_{0}$图形的边长为$a$.
由题意可知，$\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}=1$，边数是3；根据图形规律，$P_{1}$图形边长为$\frac{a}{3}$，边数为$P_{0}$.每一条边都扩大4倍，即$3×4$；$P_{2}$图形边长为$\frac{a}{3^{2}}$，边数为$3×4^{2}$；以此类推，$P_{n-1}$图形边长为$\frac{a}{3^{n-1}}$，边数为$3×4^{n-1}$；
$P_{n}$图形边长为$\frac{a}{3^{n}}$，边数为$3×4^{n}$.而根据图形规律可知曲线$P_{n}$所围成图形的面积$S_{n}$等于曲线$P_{n-1}$所围成的面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，每一条边增加的小等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×(\frac{a}{3^{n}})^{2}$，则$S_{n}=S_{n-1}+(3×4^{n-1})×\frac{\sqrt{3}}{4}×(\frac{a}{3^{n}})^{2}=S_{n-1}+\frac{1}{3}×(\frac{4}{9})^{n-1}$.又$P_{1}$图形的面积$S_{1}=1+3×\frac{\sqrt{3}}{4}×(\frac{a}{3})^{2}=\frac{4}{3}$，$S_{2}=S_{1}+\frac{1}{3}×(\frac{4}{9})$，$S_{3}=S_{2}+\frac{1}{3}×(\frac{4}{9})^{2},·s$，$S_{n}=S_{n-1}+\frac{1}{3}×(\frac{4}{9})^{n-1}$，由累加法可得$S_{n}=S_{1}+\frac{1}{3}×\frac{\frac{4}{9}[1-(\frac{4}{9})^{n-1}]}{1-\frac{4}{9}}=\frac{8}{5}-\frac{3}{5}×(\frac{4}{9})^{n}$。

例1 - 2 （2024·新高考Ⅱ卷节选）已知双曲线$C:x^{2}-y^{2}=m$（$m ＞ 0$），点$P_{1}(5,4)$在$C$上，$k$为常数，$0 ＜ k ＜ 1$. 按照如下方式依次构造点$P_{n}$（$n = 2$，3，$·s$），过$P_{n - 1}$斜率为$k$的直线与$C$的左支交于点$Q_{n - 1}$，令$P_{n}$为$Q_{n - 1}$关于$y$轴的对称点，记$P_{n}$的坐标为$(x_{n},y_{n})$.
（1）若$k=\frac{1}{2}$，求$x_{2}$，$y_{2}$；$x_{2}=3$$y_{2}=0$
（2）求证：数列$\{ x_{n}-y_{n}\}$是公比为$\frac{1 + k}{1 - k}$的等比数列.

答案： 例1 - 2 （2024·新高考Ⅱ卷节选）已知双曲线$C:x^{2}-y^{2}=m$（$m ＞ 0$），点$P_{1}(5,4)$在$C$上，$k$为常数，$0 ＜ k ＜ 1$. 按照如下方式依次构造点$P_{n}$（$n = 2$，3，$·s$），过$P_{n - 1}$斜率为$k$的直线与$C$的左支交于点$Q_{n - 1}$，令$P_{n}$为$Q_{n - 1}$关于$y$轴的对称点，记$P_{n}$的坐标为$(x_{n},y_{n})$.
（1）若$k=\frac{1}{2}$，求$x_{2}$，$y_{2}$；$x_{2}=3$，$y_{2}=0$
（2）求证：数列$\{ x_{n}-y_{n}\}$是公比为$\frac{1 + k}{1 - k}$的等比数列.
【解答】
(1)因为$P_{1}(5,4)$在$C$上，所以$25-16=m$，解得$m=9$，所以$C:x^{2}-y^{2}=9$.过点$P_{1}(5,4)$且斜率为$k=\frac{1}{2}$的直线方程为$y-4=\frac{1}{2}(x-5)$，即$x-2y+3=0$.联立$\begin{cases}x^{2}-y^{2}=9,\\x-2y+3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3,\\y=0,\end{cases}$故$Q_{1}(-3,0),P_{2}(3,0)$.因为过点$P_{n-1}$斜率为$k$的直线与$C$的左支交于点$Q_{n-1}$，且$P_{n}$为$Q_{n-1}$关于$y$轴的对称点，所以$x_{2}=3,y_{2}=0$.
(2)因为$P_{n}(x_{n},y_{n})$关于$y$轴的对称点是$Q_{n-1}(-x_{n},y_{n})$，$P_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})$，$P_{n-1},Q_{n-1}$都在同一条斜率为$k$的直线上，$x_{n-1}\neq-x_{n}$，则$\frac{y_{n}-y_{n-1}}{x_{n}-x_{n-1}}=k$.因为$P_{n-1},Q_{n-1}$都在双曲线上，所以$\begin{cases}x_{n}^{2}-y_{n}^{2}=9,\\x_{n-1}^{2}-y_{n-1}^{2}=9,\end{cases}$两式相减可得$(x_{n}-x_{n-1})(x_{n}+x_{n-1})=(y_{n}-y_{n-1})(y_{n}+y_{n-1})$，而$y_{n}-y_{n-1}=-k(x_{n}+x_{n-1})$①，所以$x_{n}-x_{n-1}=-k(y_{n}+y_{n-1})$②，由②-①可得$\frac{x_{n}-y_{n}}{x_{n-1}-y_{n-1}}=\frac{1+k}{1-k}$，故数列$\{x_{n}-y_{n}\}$是公比为$\frac{1+k}{1-k}$的等比数列.