《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例2 如图，在正三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，$AB = \sqrt{3}AA_1$，$D$为$AB$的中点.
(1) 求证：$AB \perp$平面$CC_1D$.
(2) 求异面直线$BC_1$与$CD$所成角的余弦值.
(3) 在$C_1D$上是否存在点$E$，使得平面$BCE \perp$平面$ABC_1$？若存在，求出$\frac{C_1E}{ED}$的值；若不存在，请说明理由.

答案：
例2　[解答]
(1)由正三棱柱的定义可知$\triangle ABC$是等边三角形，$CC_1\perp$平面$ABC$.因为$AB\subset$平面$ABC$，所以$CC_1\perp AB$.因为$\triangle ABC$是等边三角形，$D$为$AB$的中点，所以$CD\perp AB$.因为$CC_1,CD\subset$平面$CC_1D$，且$CC_1\cap CD = C$，所以$AB\perp$平面$CC_1D$.
(2)如图，取$A_1B_1$的中点$D_1$，连接$C_1D_1,BD_1$，则$CD// C_1D_1$，则$\angle BC_1D_1$是异面直线$BC_1$与$CD$所成的角或补角.设$AA_1 = 2$，则$AB = 2\sqrt{3},C_1D_1 = 3,BC_1 = 4,BD_1=\sqrt{7}$，故$\cos\angle BC_1D_1=\frac{BC_1^2 + C_1D_1^2 - BD_1^2}{2BC_1· C_1D_1}=\frac{16 + 9 - 7}{2×4×3}=\frac{3}{4}$，即异面直线$BC_1$与$CD$所成角的余弦值为$\frac{3}{4}$.
(3)在$\triangle CC_1D$中，作$CE\perp C_1D$，垂足为$E$.因为$CE\subset$平面$CC_1D$，且$AB\perp$平面$CC_1D$，所以$AB\perp CE$.因为$AB,C_1D\subset$平面$ABC_1$，且$AB\cap C_1D = D$，所以$CE\perp$平面$ABC_1$.因为$CE\subset$平面$BCE$，所以平面$BCE\perp$平面$ABC_1$.设$AA_1 = 2$，则$C_1C = 2,CD = 3$，故$C_1D=\sqrt{13}$.因为$S_{\triangle CC_1D}=\frac{1}{2}CD· CC_1=\frac{1}{2}C_1D· CE$，所以$CE=\frac{6\sqrt{13}}{13}$，则$C_1E=\sqrt{CC_1^2 - CE^2}=\frac{4\sqrt{13}}{13},ED=C_1D - C_1E=\frac{9\sqrt{13}}{13}$，所以$\frac{C_1E}{ED}=\frac{4}{9}$.故在$C_1D$上存在点$E$，使得平面$BCE\perp$平面$ABC_1$，此时$\frac{C_1E}{ED}=\frac{4}{9}$.
　　　 　　　

变式2 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，$O$为$AC$与$BD$的交点，$AB \perp$平面$PAD$，$\triangle PAD$是正三角形，$DC // AB$，$DA = DC = 2AB$.
(1) 求异面直线$PC$和$AB$所成角的大小；
(2) 若$E$为棱$PA$上一点，且$OE //$平面$PBC$，求$\frac{AE}{PE}$的值；
(3) 求证：平面$PBC \perp$平面$PDC$.

答案： 变式2 [解答]
(1)因为$DC// AB$，所以异面直线$PC$和$AB$所成角为$PC$和$CD$所成角，即$\angle PCD$.因为$\triangle PAD$是正三角形，$DA = DC = 2AB$，所以$PD = CD$.因为$AB\perp$平面$PAD,DC// AB$，所以$DC\perp$平面$PAD$.又$PD\subset$平面$PAD$，所以$DC\perp PD$，所以$\triangle PDC$是等腰直角三角形，所以$\angle PCD=\frac{\pi}{4}$，即异面直线$PC$和$AB$所成的角为$\frac{\pi}{4}$.
(2)因为$OE//$平面$PBC,OE\subset$平面$PAC$，平面$PAC\cap$平面$PBC = PC$，所以$OE// PC$，所以$\frac{AO}{OC}=\frac{AE}{EP}$.因为$DC// AB,DC = 2AB$，所以$\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{DC}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{AE}{PE}=\frac{1}{2}$.
(3)如图，取$PC$的中点$F$，连接$FB,FD$.因为$\triangle PAD$是正三角形，$DA = DC$，所以$DP = DC$.因为$F$是$PC$的中点，所以$DF\perp PC$.因为$AB\perp$平面$PAD,PA,AD,PD\subset$平面$PAD$，所以$AB\perp PA,AB\perp AD,AB\perp PD$.因为$DC// AB$，所以$DC\perp DP,DC\perp DA$.设$AB = a$，则在等腰直角三角形$PCD$中，$DF = PF=\sqrt{2}a$.在$Rt\triangle PAB$中，$PB=\sqrt{5}a$，在直角梯形$ABCD$中，$BD = BC=\sqrt{5}a$.因为$BC = PB=\sqrt{5}a$，$F$为$PC$的中点，所以$PC\perp FB$.在$Rt\triangle PFB$中，$FB=\sqrt{3}a$.在$\triangle FDB$中，由$DF=\sqrt{2}a,FB=\sqrt{3}a,BD=\sqrt{5}a$，可知$DF^2 + FB^2 = BD^2$，所以$FB\perp DF$.由$DF\perp PC,DF\perp FB,PC\cap FB = F,PC,FB\subset$平面$PBC$，知$DF\perp$平面$PBC$.又$DF\subset$平面$PCD$，所以平面$PBC\perp$平面$PDC$.