《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. 当$-\frac{\pi}{2} ＜ x ＜ \frac{\pi}{2}$时，方程$2\sin 2x = \cos x$的解的个数为(B)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 1.B[解析]方程$2\sin 2x=\cos x$可化为$4\sin x\cos x=\cos x$，根据$-\frac{\pi}{2}＜x＜\frac{\pi}{2}$时，$\cos x\neq 0$，得$4\sin x=1$，可得$\sin x=\frac{1}{4}$，而当$x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$时，有唯一锐角$x$满足$\sin x=\frac{1}{4}$，即方程$2\sin 2x=\cos x$的解的个数为1。

2. (2023·全国甲卷)已知$f(x)$为函数$y = \cos(2x + \frac{\pi}{6})$向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度所得函数，则$y = f(x)$的图象与直线$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$的交点个数为(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
2.C[解析]把函数$y=\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度可得函数$f(x)=\cos\left[2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{6}\right]=\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin 2x$的图象，而直线$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$显然经过点$(1,0)$，$\left(0,-\frac{1}{2}\right)$，作出函数$f(x)=-\sin 2x$与直线$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$的大致图象，如图所示。结合图象，当$x=-\frac{3\pi}{4}$时，$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=-\frac{3\pi + 4}{8}＜-1$；当$x=\frac{3\pi}{4}$时，$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=\frac{3\pi - 4}{8}＜1$；当$x=\frac{7\pi}{4}$时，$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=\frac{7\pi - 4}{8}＞1$。所以由图知$y=f(x)$的图象与直线$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$的交点个数为3。

3. (2025·芜湖期末)已知函数$f(x) = \sin(\omega x + \varphi)(\omega ＞ 0,\varphi \in [0,2\pi])$的部分图象如图所示，且$f(x)$在$(0,\pi)$上恰有 1 个极大值点和 1 个极小值点，则$\omega$的取值范围是(A)

A.$(\frac{11}{6},\frac{17}{6}]$
B.$[\frac{11}{6},\frac{17}{6})$
C.$[\frac{11}{24},\frac{17}{24})$
D.$(\frac{11}{24},\frac{17}{24}]$

答案： 3.A[解析]由图可知$f(0)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因为$\varphi\in[0,2\pi]$，且点$\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$在$f(x)$的单调递减区间上，所以$\varphi=\frac{2\pi}{3}$，故$f(x)=\sin\left(\omega x+\frac{2\pi}{3}\right)$。因为$f(x)$在$(0,\pi)$上恰有1个极大值点和1个极小值点，由$x\in(0,\pi)$，得$\omega x+\frac{2\pi}{3}\in\left(\frac{2\pi}{3},\omega\pi+\frac{2\pi}{3}\right)$，所以$\frac{5\pi}{2}＜\omega\pi+\frac{2\pi}{3}\leq\frac{7\pi}{2}$，解得$\frac{11}{6}＜\omega\leq\frac{17}{6}$。

4. 已知函数$f(x) = 2\sin(\omega x + \frac{\pi}{6}) + 1(\omega ＞ 0)$的图象在区间$[0,1)$上恰有 2 个最高点，则$\omega$的取值范围为$\left(\frac{7\pi}{3},\frac{13\pi}{3}\right]$.

答案： 4.$\left(\frac{7\pi}{3},\frac{13\pi}{3}\right]$[解析]根据$\omega$为正数，可得当$x\in[0,1)$时，$\omega x+\frac{\pi}{6}\in\left[\frac{\pi}{6},\omega+\frac{\pi}{6}\right)$。若$f(x)$的图象在区间$[0,1)$上恰有2个最高点，则$\omega+\frac{\pi}{6}\in\left(\frac{5\pi}{2},\frac{9\pi}{2}\right]$，解得$\omega\in\left(\frac{7\pi}{3},\frac{13\pi}{3}\right]$。