《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例 2 - 1 （$2024$·全国甲卷）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取$150$件进行检验，数据如下：

(1)填写如下列联表：

能否有$95\%$的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有$99\%$的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率$p = 0.5$，设$\overline{p}$为升级改造后抽取的$n$件产品的优级品率，如果$\overline{p}＞p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$，则认为该工厂产品的优级品率提高了。根据抽取的$150$件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（$\sqrt{150}\approx12.247$）能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了

答案：
例2-1 【解答】
(1)根据题意可得列联表如下：

可得$\chi^{2} = \frac{150 × (26 × 30 - 24 × 70)^{2}}{50 × 100 × 96 × 54} = \frac{75}{16} = 4.6875$.因为$4.6875 ＞ 3.841$，所以有$95\%$的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.因为$4.6875 ＜ 6.635$，所以没有$99\%$的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
(2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为$\frac{96}{150} = 0.64$，用频率估计概率可得$\hat{p} = 0.64$.又因为升级改造前该工厂产品的优级品率$p = 0.5$，则$p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} = 0.5 + 1.65\sqrt{\frac{0.5 × (1 - 0.5)}{150}} \approx 0.5 + 1.65 × \frac{0.5}{12.247} \approx 0.567$，可知$\hat{p} ＞ p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.