《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

变式2 (2025·鹰潭二模)若$A=(a_{1},a_{2},a_{3},·s,a_{n})$为一个有序实数组，其中$a_{i}\in \{ - 1,0,1\}$($i = 1$，2，3，$·s$，$n$)，$f(A)$表示把$A$中每个$-1$都变为$-1$，0，每个0都变为$-1$，1，每个1都变为0，1得到的新的有序实数组，例如：$A=(-1,0,1)$，则$f(A)=(-1,0,-1,1,0,1)$. 定义$A_{k + 1}=f(A_{k})$，$k = 1$，2，3，$·s$. 若$A_{1}=(-1,1)$，$A_{n}$中有$b_{n}$项为1，则$\{ b_{n}\}$的前2025项和为$\frac{2^{2026}-1}{3}$.

答案： 变式2$\frac{2^{2026}-1}{3}$【解析】因为$A_{1}=(-1,1)$，依题意得，$A_{2}=(-1,0,0,1)$，$A_{3}=(-1,0,-1,1,-1,1,0,1)$，显然，$A_{1}$中有2项，其中1项为-1，1项为1；$A_{2}$中有4项，其中1项为-1，1项为1，2项为0；$A_{3}$中有8项，其中3项为-1，3项为1，2项为0.
由此可得$A_{n}$中共有$2^{n}$项，其中1和-1的项数相同都为$b_{n}$，设$A_{n}$中有$c_{n}$项为0，则$2b_{n}+c_{n}=2^{n}$，$b_{1}=1$，从而$2b_{n-1}+c_{n-1}=2^{n-1}(n\geq2)$①.因为$f(A)$表示把$A$中每个-1都变为-1,0，每个0都变为-1,1，每个1都变为0,1所得到的新的有序实数组，则$b_{n}=b_{n-1}+c_{n-1}(n\geq2)$②，①+②整理得$b_{n}+b_{n-1}=2^{n-1}(n\geq2)$③，所以$b_{n+1}+b_{n}=2^{n}$④，所以$\{b_{n}\}$的前2025项和为$b_{1}+(b_{2}+b_{3})+·s+(b_{2024}+b_{2025})=1+2^{2}+2^{4}+·s+2^{2024}=1+\frac{4(1-4^{1012})}{1-4}=\frac{2^{2026}-1}{3}$。