《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例2 一个池塘里的鱼的数目记为$N$,从池塘里捞出200尾鱼,并给鱼作上标识,然后把鱼放回池塘里,过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼,$X$表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目.
(1)若$N = 5000$,求$X$的数学期望;
(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识,试给出$N$的估计值(以使得$P(X = 15)$最大的$N$的值作为$N$的估计值).206666

答案： 例2【解答】
(1)依题意，$X$服从超几何分布，且$N = 5000$，$M = 200$，$n = 500$，故$E(X)=n×\frac{M}{N}=500×\frac{200}{5000}=20$.
(2)当$N＜685$时，$P(X = 15)=0$，当$N\geq685$时，$P(X = 15)=\frac{C_{200}^{15}C_{N - 200}^{485}}{C_{N}^{500}}$，记$a(N)=\frac{C_{15}^{200}C_{485}^{N - 200}}{C_{500}^{N}}$，则$\frac{a(N + 1)}{a(N)}=\frac{C_{N + 1 - 200}^{485}C_{500}^{N + 1}}{C_{N}^{500}C_{N - 200}^{485}}=\frac{(N + 1 - 500)(N + 1 - 200 - 485)}{(N + 1)(N - 200)}=\frac{N^{2}-698N + 499×199}{N^{2}-683N - 684}$.由$N^{2}-698N + 499×199＞N^{2}-683N - 684$，可得$N＜\frac{499×199 + 684}{15}\approx6665.7$，则可知当$685\leq N\leq6665$时，$a(N + 1)＞a(N)$；当$N\geq6666$时，$a(N + 1)＜a(N)$，故当$N = 6666$时，$a(N)$最大，所以$N$的估计值为6666.

变式2 有一个包含1000个个体的总体,其中具有某特定属性的个体数量记为$M(2\leqslant M\leqslant992$,且$M$是正整数).从这个总体里不放回地抽取10个个体,把抽取到具有该特定属性个体的数量设为随机变量$X$.现在定义“抽取2个具有该特定属性个体”这件事的概率为$P$,当$P$最大时,$X$的数学期望$E(X)$ =(C)

A.1.98
B.1.99
C.2.00
D.2.01

答案： 变式2C【解析】由题知，$P(X = 2)=\frac{C_{M}^{2}C_{1000 - M}^{8}}{C_{1000}^{10}}$，不妨设某特定属性的个体数量为$M$时$P$最大，则有$\begin{cases}\frac{C_{M}^{2}C_{1000 - M}^{8}}{C_{1000}^{10}}\geq\frac{C_{M + 1}^{2}C_{999 - M}^{8}}{C_{1000}^{10}}\frac{C_{M}^{2}C_{1000 - M}^{8}}{C_{1000}^{10}}\geq\frac{C_{M - 1}^{2}C_{1001 - M}^{8}}{C_{1000}^{10}}\end{cases}$即$\begin{cases}\frac{M(M - 1)}{2}·\frac{(1000 - M)!}{8!(999 - M)!}\geq\frac{M(M + 1)}{2}·\frac{(1000 - M - 1)!}{8!(991 - M)!}\\ \frac{M(M - 1)}{2}·\frac{(1000 - M)!}{8!(999 - M)!}\geq\frac{(M - 1)(M - 2)}{2}·\frac{(1000 - M + 1)!}{8!(993 - M)!}\end{cases}$，整理得$\begin{cases}(M - 1)(1000 - M)\geq(M + 1)(992 - M)\\M(993 - M)\geq(M - 2)(1001 - M)\end{cases}$，解得$199.2\leq M\leq200.2$，而$M\in N^{*}$，则$M = 200$，所以$E(X)=\frac{10M}{1000}=\frac{10×200}{1000}=2.00$.