《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. 给定一个数列$\{ a_{n}\}$，若$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$，则把数列$\{ b_{n}\}$称为$\{ a_{n}\}$的一阶差数列. 若数列$\{ c_{n}\}$的一阶差数列$\{ t_{n}\}$的通项公式为$t_{n}=n+2^{n - 1}$，$c_{1}=1$，则$c_{9}=$(C)

A.556
B.557
C.292
D.291

答案： 1.C【解析】根据题意，$t_{n}=c_{n+1}-c_{n}=n+2^{n-1}$，则$c_{9}-c_{8}+c_{8}-c_{7}+·s+c_{2}-c_{1}=t_{8}+t_{7}+·s+t_{1}=\frac{(1+8)×8}{2}+\frac{1-2^{8}}{1-2}=291$，即$c_{9}-c_{1}=291$，又因为$c_{1}=1$，所以$c_{9}=292$。

2. 我们把各项均为0或1的数列称为0 - 1数列，0 - 1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用. 把佩尔数列$\{ P_{n}\}$($P_{1}=0$，$P_{2}=1$，$P_{n + 2}=2P_{n + 1}+P_{n}$，$n\in \mathbf{N}^{*}$)中的奇数换成0，偶数换成1，得到0 - 1数列$\{ a_{n}\}$. 记$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则$S_{20}=$(C)

A.16
B.12
C.10
D.8

答案： 2.C【解析】因为$P_{1}=0,P_{2}=1,P_{n+2}=2P_{n+1}+P_{n},n\in\mathbf{N}^{*}$，所以$P_{3}=2P_{2}+P_{1}=2×1+0=2,P_{4}=2P_{3}+P_{2}=2×2+1=5$，$P_{5}=2P_{4}+P_{3}=2×5+2=12,P_{6}=2P_{5}+P_{4}=2×12+5=29$，$P_{7}=2P_{6}+P_{5}=2×29+12=70,P_{8}=2P_{7}+P_{6}=2×70+29=169,·s$，可以看出数列$\{a_{n}\}$的前20项为$1,0,1,0,·s,1,0$，故$S_{20}=10×1+10×0=10$。

3. 下面给出一个“三角形数阵”，该数阵满足每一列成等差数列，每一行的项数由上至下构成公差为1的等差数列，从第3行起，每一行的数由左至右均构成公比为2的等比数列. 记第1行的数为$a_{1}$，第2行的数由左至右依次为$a_{2}$，$a_{3}$，依次类推，则$a_{100}=$1792.

答案： 3.1792【解析】由$1+2+·s+13=\frac{13×14}{2}=91＜100,1+2+·s+14=\frac{14×15}{2}=105\geq100$，$100-91=9$，知$a_{100}$是第14行的第9个数.而每一行的第一个数构成首项和公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列，从而第14行的第一个数是$\frac{1}{2}+\frac{14-1}{2}=7$.又因为每一行成公比为2的等比数列，故第14行的第9个数等于$7×2^{9-1}=7×256=1792$。

4. (人A选必二例题)如图，正方形$ABCD$的边长为5 cm，取正方形$ABCD$各边的中点$E$，$F$，$G$，$H$，作第2个正方形$EFGH$，然后再取正方形$EFGH$各边的中点$I$，$J$，$K$，$L$，作第3个正方形$IJKL$，依此方法一直继续下去. 从正方形$ABCD$开始，连续10个正方形的面积之和为.

答案： 4.$\frac{25}{512} cm^2$【解析】设正方形$ABCD$的面积为$a_{1}$，后续各正方形的面积依次为$a_{2},a_{3},·s,a_{n},·s$，则$a_{1}=25$。由于第$k+1$个正方形的顶点分别是第$k$个正方形各边的中点，所以$a_{k+1}=\frac{1}{2}a_{k}$.因此$\{a_{n}\}$是以25为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，$S_{10}=\frac{25×[1-(\frac{1}{2})^{10}]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{25575}{512}$。