《2025年金版新学案高中物理选择性必修第一册人教版》

角度② 共振曲线的理解及应用
例 3 如图为“双峰值”的共振曲线。

(1)若两个“峰值”表示在地球上同一地点的两个不同单摆Ⅰ、Ⅱ的共振曲线，求单摆Ⅰ、Ⅱ的摆长之比；
(2)若两个“峰值”表示同一单摆分别在地球和另一个星球上的共振曲线（其中曲线Ⅰ为在地球上得到的曲线），求地球和该星球表面的重力加速度之比。

答案： $(1)\frac{25}{4} (2)\frac{4}{25}$
解析：
(1)若两个“峰值”表示在地球上同一地点的两个不同单摆的共振曲线，则g相同
由共振曲线得单摆Ⅰ的固有频率$f_{1}=0.2Hz，$则固有周期
$T_{1}=\frac{1}{f_{1}}=5s$
单摆Ⅱ的固有频率$f_{Ⅱ}=0.5Hz，$则固有周期$T_{Ⅱ}=\frac{1}{f_{Ⅱ}}=2s$
由单摆的周期公式$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$得，两个单摆的摆长之比$\frac{l_{1}}{l_{Ⅱ}}=\frac{T_{1}^{2}}{T_{Ⅱ}^{2}}=\frac{25}{4}。$
(2)若两个“峰值”表示同一单摆分别在地球和另一个星球上的共振曲线，则摆长l一定，由单摆的周期公式$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$得，地球和该星球表面的重力加速度之比$\frac{g_{1}}{g_{Ⅱ}}=\frac{T_{Ⅱ}^{2}}{T_{1}^{2}}=\frac{4}{25}。$

针对练
（2024·河南洛阳高二月考）把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示，已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是 54 r/min。下列表述正确的是（ ）



A.增大电压可以增大筛子的固有频率
B.减小电压可以增大筛子的振动幅度
C.增大筛子质量可以减小驱动力的频率
D.减小筛子质量可以减小筛子的振动幅度

答案： B 增大电压，可使偏心轮转速提高，增大驱动力的频率，不能改变筛子的固有频率，A错误；现在偏心轮的转速是54r/min，频率f=0.9Hz，减小电压，偏心轮的转速减小，可以减小驱动力的频率，从共振筛的共振曲线中可以看出，减小电压可以增大筛子的振动幅度，B正确；增大筛子质量，可增大筛子的固有周期，与驱动力的频率无关，C错误；减小筛子质量，可以减小筛子的固有周期，即增大筛子的固有频率，共振筛的共振曲线的峰值向右移动，振幅增大，D错误。故选B。

角度③ 简谐运动、阻尼振动、受迫振动与共振的比较
例 4 某物理学习小组制作了一个实验装置，如图所示，在曲轴 A 上悬挂一个弹簧振子 B，如果转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子 B 上下振动。

(1)开始时不转动摇把，而用手往下拉振子 B，然后放手让振子 B 上下振动，测得振子在 10 s 内完成 40 次全振动，不计空气阻力和摩擦，振子 B 做什么运动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子 B 做什么运动？
(2)某同学若以转速 8 r/s 匀速转动摇把，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期和频率各是多少？
(3)若为了使该装置中的弹簧振子获得最强的振动，则转动摇把的转速多大？

答案：
(1)简谐运动 0.25s 4Hz 阻尼振动
(2)受迫振动 0.125s 8Hz
(3)4r/s
解析：
(1)用手往下拉振子使振动系统获得一定能量，放手后，在不计空气阻力和摩擦的情况下，振子因所受回复力与位移大小成正比，方向与位移方向相反(F=-kx)，故振子做简谐运动，其周期和频率是由它本身的性质决定的，为固有周期$(T_{固})$和固有频率$(f_{固})，$根据题意可得$T_{固}=\frac{10}{40}s=0.25s，$
$f_{固}=\frac{1}{0.25}Hz=4Hz；$当存在摩擦力和空气阻力时，振子在振动过程中要克服摩擦力和空气阻力做功，消耗能量，导致其振幅越来越小，故振动为阻尼振动。
(2)由于摇把转动的转速为8r/s，它给弹簧振子的驱动力的频率$f_{驱}=8Hz，$周期$T_{驱}=\frac{1}{8}s=0.125s，$振子做受迫振动，振动达到稳定状态后，其振动的频率（周期）等于驱动力的频率（周期），而跟固有频率（周期）无关。
(3)使该装置中的弹簧振子获得最强的振动，即使弹簧振子发生共振，由共振条件知转动摇把的频率应该等于弹簧振子的固有频率，即$f_{转}=f_{固}=4Hz，$转动摇把的转速n=4r/s。