《2025年金版新学案高中物理选择性必修第一册人教版》

如图为质点 $ A $、$ B $ 分别做简谐运动的位移 $ -$ 时间图像。

任务 1. 根据图像判断质点 $ A $、$ B $ 的振幅、周期分别是多少？
任务 2. 根据图像判断 $ t = 0.2 \, s $ 时，质点 $ A $、$ B $ 的振动情况有什么不同？
任务 3. 根据图像判断 $ 2 \, s $ 时间内，质点 $ A $、$ B $ 通过的路程分别是多少？

答案： 任务1.质点A的振幅是$0.5\ cm$，周期是$0.4\ s$；质点B的振幅是$0.2\ cm$，周期是$0.8\ s$。
任务2.$t = 0.2\ s$时，质点A经过平衡位置沿正方向振动，质点B经过平衡位置沿负方向振动。
任务3.$2\ s$时间内，质点A通过的路程是$10\ cm$，质点B通过的路程是$2\ cm$。

例 3
（多选）甲、乙为竖直悬挂的两个弹簧振子，且悬挂振子的弹簧劲度系数相同，已知两球质量之比是 $ 4 : 1 $，振动图像如图所示。则下列说法正确的是（ ）


A.甲、乙两弹簧振子的振动频率之比是 $ 1 : 2 $
B.甲、乙两弹簧振子在 $ 10 \, s $ 内质点经过的路程之比是 $ 1 : 1 $
C.甲、乙两弹簧振子最大加速度之比是 $ 2 : 1 $
D.甲、乙两弹簧振子最大速度之比是 $ 4 : 1 $

答案： AB 从题图中可以直接看出甲的振幅$A_1 = 10\ cm$，乙的振幅$A_2 = 5\ cm$，甲的周期$T_1 = 2.0\ s$，乙的周期$T_2 = 1.0\ s$。甲、乙两弹簧振子的振动周期之比为$2:1$，根据$f = \frac{1}{T}$可知，两者的频率之比为$1:2$，故A正确；甲$10\ s$完成$5$次全振动，路程为$5 × 4A_1 = 200\ cm$，乙$10\ s$完成$10$次全振动，路程为$10 × 4A_2 = 200\ cm$，故两者在$10\ s$内经过的路程之比为$1:1$，故B正确；根据胡克定律$F = kx$，则甲、乙的最大弹力$F$之比为$2:1$，又因为两球质量之比是$4:1$，根据牛顿第二定律可得$a = \frac{F}{m}$，则甲、乙两弹簧振子最大加速度之比是$1:2$，故C错误；经分析，当振子到达平衡位置时，速度最大，设此时速度为$v$，弹簧振子的弹簧伸长量为$x_0$，在最低点时的弹簧伸长量为$x_1$，则有$mg = kx_0$，从最低点到平衡位置，根据动能定理得$\frac{kx_0 + kx_1}{2} × (x_1 - x_0) - mg(x_1 - x_0) = \frac{1}{2}mv^2 - 0$，又因为$A = x_1 - x_0$，联立解得$v = A\sqrt{\frac{k}{m}}$，所以最大速度之比为$1:1$，故D错误。故选AB。

针对练 1
劲度系数为 $ 20 \, N/cm $ 的弹簧和小球构成一个水平弹簧振子，它的振动图像如图所示，在图中 $ A $ 点对应的时刻，下列说法不正确的是（ ）


A.振子所受的弹力大小为 $ 5 \, N $，方向指向 $ x $ 轴负方向
B.振子的速度方向指向 $ x $ 轴正方向
C.在 $ 0 \sim 4 \, s $ 内振子做了 $ 1.75 $ 次全振动
D.在 $ 0 \sim 4 \, s $ 内振子通过的路程为 $ 4 \, cm $

答案： C 在题图中的A点，其位移$x = 0.25\ cm$，故此时弹力$F = kx = 20 × 0.25\ N = 5\ N$，其位置在$x$轴的正半轴，故受力方向指向$x$轴负方向，故A正确；在A点，振子正在向$x$轴正方向运动，故B正确；由题图可知周期$T = 2\ s$，故振子在$4\ s$内做了$2$次全振动，故C错误；由于$4\ s = 2T$，故振子通过的路程为$2 × 4 × 0.5\ cm = 4\ cm$，故D正确。故选C。

针对练 2
如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为 $ O $ 点，在 $ B $、$ C $ 两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的 $ x - t $ 图像，下列说法正确的是（ ）


A.弹簧振子从 $ B $ 点经过 $ O $ 点再运动到 $ C $ 点为一次全振动
B.弹簧振子的振动方程表达式为 $ x = 0.1 \sin \left( \pi t + \dfrac{\pi}{2} \right) \, m $
C.弹簧振子在 $ 2.5 \, s $ 内通过的路程为 $ 1 \, m $
D.图乙中的 $ t_1 $ 时刻振子的速度方向与加速度方向都为负方向

答案： C 弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为$\frac{1}{2}$次全振动，A错误；根据题图乙可知，弹簧振子的振幅$A = 0.1\ m$，周期$T = 1\ s$，则$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\ rad/s$，水平向右为正方向，$t = 0$时刻位移为$0.1\ m$，表示振子从B点开始运动，初相$\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$，则振子的振动方程为$x = A\sin(\omega t + \varphi_0) = 0.1\sin(2\pi t + \frac{\pi}{2})\ m$，B错误；因周期$T = 1\ s$，则$2.5\ s = 2.5T$，则振子在前$2.5\ s$内通过的路程$s = 2.5 × 4A = 10 × 0.1\ m = 1\ m$，C正确；题图乙中的$t_1$时刻振子的速度方向为负，做减速运动，即从O向C运动，加速度方向为正，D错误。故选C。