《2025年金版新学案高中物理选择性必修第一册人教版》

例 2 2024 年 10 月 30 日 04 时 27 分，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号 F 遥十九运载火箭成功发射。假设火箭的喷气发动机每次喷出$m=200g$的气体，发动机喷出的气体速度$v=1000m/s$，设火箭总质量$M=300kg$，发动机每秒喷气 20 次。（结果均保留小数点后 1 位）
(1)当第三次喷出气体后，火箭的速度多大？
(2)运动第 1s 末，火箭的速度多大？

答案：
(1)$2.0\ m/s$
(2)$13.5\ m/s$
解析：法一：分过程法
(1)喷出气体运动方向与火箭运动方向相反，系统动量守恒，以火箭运动方向为正方向
第一次喷出气体后，设火箭速度为$v_1$，有$(M - m)v_1 - mv = 0$，
所以$v_1 = \frac{mv}{M - m}$
第二次喷出气体后，设火箭速度为$v_2$，有$(M - 2m)v_2 - mv = (M - m)v_1$，所以$v_2 = \frac{2mv}{M - 2m}$
第三次喷出气体后，设火箭速度为$v_3$，有$(M - 3m)v_3 - mv = (M - 2m)v_2$，所以$v_3 = \frac{3mv}{M - 3m} = \frac{3 × 0.2 × 1000}{300 - 3 × 0.2}\ m/s \approx 2.0\ m/s$。
(2)依次类推，第$n$次喷出气体后，设火箭速度为$v_n$，有$(M - nm)v_n - mv = [M - (n - 1)m]v_{n - 1}$，所以$v_n = \frac{nmv}{M - nm}$
因为每秒喷气$20$次，所以第$1\ s$末火箭速度$v_{20} = \frac{20mv}{M - 20m} = \frac{20 × 0.2 × 1000}{300 - 20 × 0.2}\ m/s \approx 13.5\ m/s$。
法二：全过程法
(1)设喷出三次气体后火箭的速度为$v_3$，以火箭和喷气三次喷出的气体为研究对象，以火箭运动方向为正方向，根据动量守恒定律得$(M - 3m)v_3 - 3mv = 0$，解得$v_3 = \frac{3mv}{M - 3m} \approx 2.0\ m/s$。
(2)以火箭和喷气$20$次喷出的气体为研究对象，根据动量守恒定律得$(M - 20m)v_{20} - 20mv = 0$，解得$v_{20} = \frac{20mv}{M - 20m} \approx 13.5\ m/s$。

针对练 1. 关于火箭、反冲现象，下列说法正确的是（ ）

A.火箭、汽车的运动都属于反冲运动
B.火箭开始工作后做加速运动的原因是燃料燃烧推动空气，空气的反作用力推动火箭
C.为了减少反冲的影响，用枪射击时要用肩部抵住枪身
D.在没有空气的宇宙空间，火箭无法利用反冲进行加速

答案： C

针对练 2. (2024·辽宁盘锦高二期中)我国航天梦由来已久。明朝人万户把多个自制的火箭绑在椅子上，自己坐在椅子上，双手举着大风筝，设想利用火箭的推力，翱翔天际，然后利用风筝平稳着陆。假设万户及所携设备[火箭(含燃料)、椅子、风筝等]总质量为$M$，点燃火箭后在极短的时间内，质量为$m$的炽热燃气相对地面以$v_{0}$的速度竖直向下喷出。忽略此过程中空气阻力的影响，重力加速度为$g$，下列说法正确的是（ ）


A.在燃气喷出后的瞬间，火箭的速度大小为$\frac{mv_{0}}{M - m}$
B.火箭在向下喷气上升的过程中，火箭机械能守恒
C.喷出燃气后，万户及所携设备能上升的最大高度为$\frac{m^{2}v_{0}^{2}}{g(M - m)^{2}}$
D.在燃气喷出后上升过程中，万户及所携设备动量守恒

答案： A