《2025年金版新学案高中物理选择性必修第一册人教版》

针对练.如图所示，长为l的细绳下方悬挂一小球a。绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方3/4l的O'处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是（ ）

答案： A 小球从右向左运动到平衡位置的过程，相当于运动第一个$\frac{1}{4}$周期，根据单摆周期公式有$t = \frac{1}{4}×2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}$，从平衡位置向左运动到最左端的过程，相当于运动了第二个$\frac{1}{4}$周期，有$t' = \frac{1}{4}×2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{4}l}{g}}=\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{l}{g}}$，由此可知$t = 2t'$；结合位移来分析，设竖直位移最大值为$h$，第一个$\frac{1}{4}$周期的水平位移最大值$x_{m1}=\sqrt{l^{2}-(l - h)^{2}}=\sqrt{2lh - h^{2}}$，第二个$\frac{1}{4}$周期的水平位移最大值$x_{m2}=\sqrt{(\frac{l}{4})^{2}-(\frac{l}{4}-h)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}lh - h^{2}}$，可知$x_{m1}＞x_{m2}$。故选A。

例4 如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a（g＞a）向下加速的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电荷，放在匀强电场E中，周期为T丙，单摆甲、乙、丙的摆长l相同，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ ）


A.T甲＞T乙＞T丙
B.T乙＞T甲＞T丙
C.T丙＞T甲＞T乙
D.T乙＞T甲=T丙

答案： B 根据单摆周期公式，对甲摆有$T_{甲}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$；对乙摆，“等效重力加速度”$g_{效}=g - a$，则有$T_{乙}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g - a}}$；对丙摆，由于摆球受竖直向下的重力的同时，还受竖直向下的电场力，等效重力$F = mg + qE$，故等效重力加速度$g' = g+\frac{qE}{m}$，故周期$T_{丙}=2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg + qE}}$，所以$T_{乙}＞T_{甲}＞T_{丙}$。故选B。