《2025年金版新学案高中物理选择性必修第一册人教版》

如图所示，小球 A 以速度 $ v_0 $ 滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道 B。已知小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，试分析：

任务 1. 在相互作用的过程中，小球 A 和轨道 B 组成的系统机械能是否守恒？总动量是否守恒？
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任务 2. 小球到达最高点时，小球与轨道的速度有什么关系？
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任务 3. 什么时候轨道 B 的速度达到最大？
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任务 4. 小球离开轨道瞬间系统总动量、系统机械能与初始状态有怎样的关系？试列式说明。
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答案： 任务1.整个过程中小球和轨道组成的系统的机械能守恒；系统水平方向动量守恒，竖直方向上动量不守恒，故总动量不守恒。
任务2.当小球上升到最高点时，小球和轨道的速度相同。
任务3.小球从左侧离开轨道时，轨道的速度最大。
任务4.设小球离开轨道时的速度为$v_1$，轨道的速度为$v_2$，小球质量为$m_1$，轨道质量为$m_2$，
根据水平方向动量守恒有$m_1v_0 = m_1v_1 + m_2v_2$
根据机械能守恒定律有$\frac{1}{2}m_1v_0^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2$。

例 1
（2024·河北承德高二期中）如图所示，有一质量为 $ m $ 的小球，以速度 $ v_0 $ 滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道。已知圆弧轨道的质量为 $ 2m $，圆弧轨道顶端切线竖直，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为 $ g $，求：

（1）小球在圆弧轨道上能上升的最大高度（用 $ v_0 $、$ g $ 表示）；
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（2）小球离开圆弧轨道时的速度大小。
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答案：
(1)$\frac{v_0^2}{3g}$
(2)$\frac{v_0}{3}$
解析：
(1)小球在圆弧轨道上升到最大高度时两物体速度相同，系统在水平方向上动量守恒，规定$v_0$的方向为正方向，则有$mv_0 = 3mv$
解得$v = \frac{v_0}{3}$
根据机械能守恒定律有$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} × 3mv^2 + mgh$
解得$h = \frac{v_0^2}{3g}$。
(2)小球离开圆弧轨道时，根据动量守恒定律有
$mv_0 = mv_1 + 2mv_2$
根据机械能守恒定律有
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2} × 2mv_2^2$
联立解得$v_1 = - \frac{v_0}{3}$
则小球离开圆弧轨道时的速度大小为$\frac{v_0}{3}$。