《2025年金版新学案高中物理选择性必修第一册人教版》

例 2 如图所示，质量为 $ m $ 的长木板 A 静止在光滑水平面上，另外两个质量也为 $ m $ 的物块 B 和 C 同时分别从 A 的左、右两端滑上 A 的上表面，初速度大小分别为 $ v $ 和 $ 2v $。物块 B、C 与长木板 A 间的动摩擦因数均为 $ \mu $，假设物块 B、C 在长木板 A 表面上运动时始终没有碰撞。试求：

(1)B、C 刚滑上长木板 A 时，A 所受合力大小；
(2)长木板 A 的最终运动速度大小；
(3)为使物块 B、C 不相撞，长木板 A 至少多长？

答案：
例2　
(1)0　
(2)$\frac{v}{3}$　
(3)$\frac{7v^{2}}{3\mu g}$
解析:
(1)对A受力分析如图所示,以向左为正方向,A受到的合力为$F_{A合}=F_{fCA}-F_{fBA}=\mu mg-\mu mg=0$。
(2)A、B、C组成的系统所受合力为零,系统动量守恒,以向左为正方向。由动量守恒定律得$m·2v - mv=(m + m + m)v'$，解得A、B、C最终的共同速度$v'=\frac{v}{3}$，即木板A的最终运动速度大小为$\frac{v}{3}$。
(3)对A、B、C组成的系统，由能量守恒定律得$\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}m(2v)^{2}=\frac{1}{2}(m + m + m)v'^{2}+\mu mgL$，解得$L=\frac{7v^{2}}{3\mu g}$。

1. 如图所示，一质量 $ M = 3.0 \, kg $ 的长木板 B 放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量 $ m = 1.0 \, kg $ 的小木块 A。给 A 和 B 以大小均为 $ 4.0 \, m/s $、方向相反的初速度，使 A 开始向左运动，B 开始向右运动，A 始终没有滑离木板 B。在小木块 A 做加速运动的时间内，木板速度大小可能是（ ）


A.$ 1.8 \, m/s $
B.$ 2.4 \, m/s $
C.$ 2.8 \, m/s $
D.$ 3.0 \, m/s $

答案： 针对练1.B A先向左减速到零，再向右做加速运动，在此期间，木板做减速运动，最终它们保持相对静止。设A减速到零时，木板的速度为$v_1$，最终它们的共同速度为$v_2$，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得$Mu - mv = Mv_1$，$Mv_1=(M + m)v_2$，解得$v_1=\frac{8}{3} m/s$，$v_2 = 2 m/s$，所以在小木块A做加速运动的时间内，木板速度大小应大于$2.0 m/s$，小于$\frac{8}{3} m/s$。故选B。

2. 如图所示，B 是放在光滑水平面上质量为 $ 4m $ 的一块木板，物块 A(可看成质点)质量为 $ m $，与木板间的动摩擦因数为 $ \mu $，最初木板 B 静止，物块 A 以水平初速度 $ v_0 $ 滑上木板，木板足够长(重力加速度为 $ g $)，求：

(1)木板 B 的最大速度大小；
(2)从 A 刚滑上木板到 A、B 速度刚好相等的过程中，物块 A 所发生的位移大小；
(3)若物块 A 恰好没滑离木板 B，则木板至少多长？

答案： 针对练2.
(1)$\frac{v_0}{5}$　
(2)$\frac{12v_0^{2}}{25\mu g}$　
(3)$\frac{2v_0^{2}}{5\mu g}$
解析:
(1)由题意知，A向右减速，B向右加速，当A、B速度相等时B的速度最大。以$v_0$的方向为正方向，根据动量守恒定律得$mv_0=(m + 4m)v$，解得$v=\frac{v_0}{5}$。
(2)A向右减速的过程，根据动能定理有$-\mu mgx_1=\frac{1}{2}mv^{2}-\frac{1}{2}mv_0^{2}$，解得物块A所发生的位移大小$x_1=\frac{12v_0^{2}}{25\mu g}$。
(3)从A滑上B至达到共同速度的过程中，由能量守恒定律得$\mu mgL=\frac{1}{2}mv_0^{2}-\frac{1}{2}(m + 4m)v^{2}$，解得$L=\frac{2v_0^{2}}{5\mu g}$。