《2025年金版新学案高中物理选择性必修第一册人教版》

如图所示，长为$L$、质量为$M$的小船停在静水中，质量为$m$的人由静止开始从船的右端走到船的左端，人对地的位移大小为$x_{1}$、方向向左，小船对地的位移大小为$x_{2}$、方向向右，不计水的阻力。

任务1. 对人和船组成的系统，在人由船的一端走到船的另一端的过程中，系统水平方向动量守恒吗？
任务2. 试求出人对地的位移大小$x_{1}$和小船对地的位移大小$x_{2}$。（用$M$、$m$、$L$表示）

答案： 任务1.对人和船组成的系统，水平方向不受外力作用，所以系统水平方向动量守恒。
任务2.设某时刻人对地的速率为$v_1$，船对地的速率为$v_2$，以人走的方向为正方向。
根据动量守恒定律得$mv_1 - Mv_2 = 0$ ①
则全过程中的平均动量也守恒，即$m\overline{v_1} - M\overline{v_2} = 0$ ②
②式两边同乘$\Delta t$得$mx_1 - Mx_2 = 0$ ③
由题图可看出$x_1 + x_2 = L$ ④
联立③④两式得$x_1 = \frac{M}{M + m}L$，$x_2 = \frac{m}{M + m}L$。

例3
如图所示，物体$A$和$B$质量分别为$m_{2}$和$m_{1}$，其水平直角边长分别为$a$和$b$。$A$、$B$之间存在摩擦，$B$与水平地面无摩擦。可视为质点的$A$与地面间的高度差为$h$，当$A$由$B$的顶端从静止开始滑到$B$的底端时，问：
（1）$B$的水平位移大小是多少？
（2）若$A$滑到斜面底端时速度为$v$，则在$A$下滑过程中，$A$损失的机械能为多少？

答案： （1）$\frac{m_2(b - a)}{m_1 + m_2}$（2）$m_2gh - \frac{1}{2}m_2v^2$
解析：
(1)设向右为正方向，下滑过程中A速度的水平分量为$-v_A$，B的速度为$v_B$，对A和B组成的系统，水平方向上不受外力，故系统水平方向动量守恒，则每时每刻都有$m_1v_B - m_2v_A = 0$
则有$m_1x_1 - m_2x_2 = 0$
由题意可知$x_1 + x_2 = b - a$
联立可得$x_1 = \frac{m_2(b - a)}{m_1 + m_2}$。
(2)根据能量守恒定律可得，A损失的机械能
$\Delta E = m_2gh - \frac{1}{2}m_2v^2$。

针对练1.（2024·贵州遵义高二检测）

如图所示，光滑的水平地面上有一静止的平板小车，车的右端站着一个人，人和车的质量分别为$60kg$和$30kg$，车长为$15m$。从某时刻起，人以一定的速度向车的左端走去，到达车的左端时再次静止。上述过程中，人相对地面的位移大小为（ ）

A.$15m$
B.$10m$
C.$7.5m$
D.$5m$

答案： D 由题意知，对车和人组成的系统满足水平方向动量守恒，设向左为正方向，车的质量为$m$，人的质量为$M$，则有$0 = Mv_1 - mv_2$，设经过$\Delta t$人向左走到平板小车左端，则有$0 = Mv_1\Delta t - mv_2\Delta t$，即$Mx_1 = mx_2$，又因为$x_1 + x_2 = L$，解得人相对地面的位移大小$x_1 = 5m$。故选D。