《2025年金榜名卷必刷卷七年级数学上册人教版》

24. (12 分)已知 $∠AOB = 90^{\circ}$,$OC$ 是一条可以绕点 $O$ 转动的射线,$OM$ 平分$∠AOC$,$ON$ 平分$∠BOC$.
(1)当射线 $OC$ 在$∠AOB$ 的内部转动时,如图①,$∠MON$ 的大小是否会发生变化? 若不变,求出它的度数;
(2)当射线 $OC$ 在$∠AOB$ 的外部转动时($∠BOC$ 不大于 $90^{\circ}$),如图②,$∠MON$ 的大小是否会发生变化? 若不变,求出它的度数.
图①
图②

答案：
(1)不变化，总为45°.理由：因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线，所以∠COM = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠CON = $\frac{1}{2}$∠BOC.所以∠MON = ∠COM + ∠CON = $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°；
(2)不变化，总为45°.理由：因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线，所以∠COM = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠CON = $\frac{1}{2}$∠BOC.因为∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + ∠BOC，所以∠MON = ∠COM - ∠CON = $\frac{1}{2}$∠AOC - $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$(90° + ∠BOC - ∠BOC) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°.