《2025年金榜名卷必刷卷七年级数学上册人教版》

24. (12 分)在数轴上,图中点 $A$ 表示 $-36$,点 $B$ 表示 $44$,动点 $P、Q$ 分别从 $A、B$ 两点同时出发,相向而行,动点 $P、Q$ 的运动速度之比是 $3:2$(速度单位：$1$ 个单位长度/秒)。$12$ 秒后,动点 $P$ 到达原点 $O$,动点 $Q$ 到达点 $C$,设运动的时间为 $t(t ＞ 0)$ 秒。

(1)求 $OC$ 的长；
(2)经过 $t$ 秒,$P、Q$ 两点之间相距 $5$ 个单位长度,求 $t$ 的值；
(3)若动点 $P$ 到达 $B$ 点后,以原速度立即返回,当 $P$ 点运动至原点时,动点 $Q$ 是否到达点 $A$？若到达,求提前到达了多少时间；若未能到达,说明理由。

答案：
(1)设P、Q速度分别为3m个单位长度/秒,2m个单位长度/秒,12×3m=36,所以m=1.所以P、Q速度分别为3个单位长度/秒,2个单位长度/秒.所以BC=12×2=24.所以OC=OB-BC=44-24=20；
(2)当A、B在相遇前且相距5个单位长度时,3t+2t+5=44+36,5t=75,所以t=15.当A、B在相遇后且相距5个单位长度时,3t+2t-5=44+36,5t=85,所以t=17.综上所述,t的值为15或17；
(3)P运动到原点时,$t=\frac{36+44+44}{3}=\frac{124}{3}$(s),此时QB=$2×\frac{124}{3}=\frac{248}{3}＞44+36=80$.所以Q点已到达点A.所以Q点已到达点A的时间为$\frac{36+44}{2}=40$(秒).故提前的时间为$\frac{124}{3}-40=\frac{4}{3}$(秒).