《2025年金榜名卷必刷卷七年级数学上册人教版》

24. (12分)如图,已知 $ P $ 是线段 $ AB $ 上一点,$ AP = \dfrac{2}{3}AB $,$ C $、$ D $ 两点从 $ A $、$ P $ 同时出发,分别以 $ 2\mathrm{cm/s} $,$ 1\mathrm{cm/s} $ 的速度沿 $ AB $ 方向运动,当点 $ D $ 到达终点 $ B $ 时,点 $ C $ 也停止运动,设 $ AB = a\mathrm{cm} $,点 $ C $、$ D $ 的运动时间为 $ t\mathrm{s} $。

(1)用含 $ a $ 和 $ t $ 的式子表示线段 $ CP $ 的长；
(2)当 $ t = 5 $ 时,$ CD = \dfrac{1}{2}AB $,求线段 $ AB $ 的长；
(3)当 $ CB - AC = PC $ 时,求 $ \dfrac{PD}{AB} $ 的值。

答案：
(1)因为AB=a,AP=$\frac{2}{3}$AB,所以AP=$\frac{2}{3}$a.因为AC=2t,所以CP=AP-AC=($\frac{2}{3}$a-2t)cm;
(2)因为CD=$\frac{1}{2}$AB,所以PC+PD=$\frac{1}{2}$(AP+PB).所以$\frac{2}{3}$a-2t+t=$\frac{1}{2}$a.当t=5时,解得a=30.所以AB=30cm;
(3)因为CB-AC=PC,所以AC=PB.因为AP=$\frac{2}{3}$AB,所以PB=$\frac{1}{3}$AB.所以AC=PC=PB=2t.所以AB=6t.因为PD=t,所以$\frac{PD}{AB}$=$\frac{1}{6}$.