《2025年金榜名卷必刷卷七年级数学上册人教版》

24. (12分)如图①,已知点C在线段AB上,线段AC= 10cm,BC= 6cm,点M、N分别是AC、BC的中点.
(1)求线段MN的长度;
(2)根据第(1)题的计算过程和结果,设AC+BC= a,其他条件不变,求MN的长度;
(3)如图②,动点P、Q分别从A、B同时出发,点P以2cm/s的速度沿AB向右运动,终点为B,点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动,终点为A,当一个点到达终点,另一个点也随之停止运动,求运动多少秒时,C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点?

答案：
(1)
∵线段AC = 10 cm，BC = 6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM = $\frac{1}{2}$AC = 5 cm，CN = $\frac{1}{2}$BC = 3 cm，
∴MN = CM + CN = 8 cm；
(2)
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM = $\frac{1}{2}$AC，CN = $\frac{1}{2}$BC，
∴MN = CM + CN = $\frac{1}{2}$AC + $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$a；
(3)①当0 ＜ t ≤ 5时，C是线段PQ的中点，得10 - 2t = 6 - t，解得t = 4；②当5 ＜ t ≤ $\frac{16}{3}$时，P为线段CQ的中点，2t - 10 = 16 - 3t，解得t = $\frac{26}{5}$；③当$\frac{16}{3}$ ＜ t ≤ 6时，Q为线段PC的中点，6 - t = 3t - 16，解得t = $\frac{11}{2}$；④当6 ＜ t ≤ 8时，C为线段PQ的中点，2t - 10 = t - 6，解得t = 4(舍去)。综上所述，t = 4或$\frac{26}{5}$或$\frac{11}{2}$。