《2025年金榜名卷必刷卷七年级数学上册人教版》

22. (10 分) 如图所示,将面积为 $a^{2}$ 的小正方形和面积为 $b$ 的大正方形放在同一水平面上 ($b ＞ a ＞ 0$).
(1) 用 $a$、$b$ 表示阴影部分的面积;
(2) 计算当 $a = 3$, $b = 5$ 时,阴影部分的面积.

答案：
(1)阴影部分的面积为$\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}a(a+b)$；
(2)当a=3，b=5时，阴影部分的面积为$\frac{1}{2}×25+\frac{1}{2}×3×(3+5)=\frac{49}{2}$.

23. (11 分) 已知 3 个有理数 $x$、$y$、$z$,其中 $x = \frac{2}{(-1)^{n} - 1}$, $x$ 与 $y$ 互为相反数, $y$ 是 $z$ 的倒数.
(1) 当 $n$ 为奇数时,你能求出 $x$、$y$、$z$ 这三个数吗? 当 $n$ 为偶数时,你能求出 $x$、$y$、$z$ 这三个数吗? 若能,请计算并写出结果;若不能,请说明理由;
(2) 根据 (1) 的结果计算 $xy - y^{n} - (y - z)^{2025}$ 的值.

答案：
(1)当n为奇数时，$x=\frac{2}{(-1)^{n}-1}=\frac{2}{-1-1}=-1$.因为x与y互为相反数，所以y=-x=1.因为y是z的倒数，所以$z=\frac{1}{y}=1$.所以x=-1,y=1,z=1.当n为偶数时，$(-1)^{n}-1=1-1=0$.因为分母不能为0，所以不能求出x、y、z这三个数；
(2)当x=-1,y=1,z=1时，$xy-y^{n}-(y-z)^{2025}=(-1)×1-1^{n}-(1-1)^{2025}=-2$.