《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

【例 1】计算：
(1)$a^{n + 2}\cdot a^{n + 1}\cdot a^{n}\cdot a$；
(2)$(a + b)^{3m}\cdot (b + a)^{m + n}$；
(3)$-x^{3}\cdot (-x)^{3}\cdot (-x)^{4}$；
(4)$(x - y)^{6}\cdot (y - x)^{6}$。

答案：
(1)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$a^{n + 2}\cdot a^{n + 1}\cdot a^{n}\cdot a=a^{(n + 2)+(n + 1)+n + 1}=a^{3n + 4}$
(2)
因为$(a + b)$与$(b + a)$是相同的底数，所以根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$(a + b)^{3m}\cdot (b + a)^{m + n}=(a + b)^{3m + m + n}=(a + b)^{4m + n}$
(3)
先根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，化简$(-x)^{3}=-x^{3}$，$(-x)^{4}=x^{4}$，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$-x^{3}\cdot (-x)^{3}\cdot (-x)^{4}=-x^{3}\cdot (-x^{3})\cdot x^{4}=x^{3 + 3+4}=x^{10}$
(4)
因为$(x - y)^{6}=[-(y - x)]^{6}=(y - x)^{6}$，所以根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$(x - y)^{6}\cdot (y - x)^{6}=(y - x)^{6}\cdot (y - x)^{6}=(y - x)^{6 + 6}=(y - x)^{12}$

1. 计算$-a^{2}\cdot (-a)^{3}$的结果是(D)
A.$-a^{6}$
B.$a^{6}$
C.$-a^{5}$
D.$a^{5}$

答案： D

2. 已知$x + y - 3 = 0$,则$2^{y}\cdot 2^{x}$的值是(D)
A.6
B.$-6$
C.$\frac{1}{8}$
D.8

答案： D

3. 若$3× 3^{m}× 3^{3m}= 3^{9}$,则$m$的值为(A)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： A

4. 计算：
(1)$a^{2}\cdot a^{6}\cdot a$；
(2)$-x^{5}\cdot (-x)^{7}$；
(3)$(m - n)\cdot (n - m)^{2}\cdot (n - m)^{3}$。

答案：
(1)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$a^{2}\cdot a^{6}\cdot a=a^{2 + 6+1}=a^{9}$
(2)
先根据负数的奇次幂是负数，确定$(-x)^{7}=-x^{7}$，则：
$-x^{5}\cdot (-x)^{7}=-x^{5}\cdot (-x^{7})=x^{5}\cdot x^{7}=x^{5 + 7}=x^{12}$
(3)
因为$(m - n)=-(n - m)$，所以：
$(m - n)\cdot (n - m)^{2}\cdot (n - m)^{3}=-(n - m)\cdot (n - m)^{2}\cdot (n - m)^{3}=-(n - m)^{1 + 2+3}=-(n - m)^{6}$
综上，答案依次为：
(1)$a^{9}$；
(2)$x^{12}$；
(3)$-(n - m)^{6}$。

【例 2】已知$3^{x}= y$,则$3^{x + 1}$等于(D)
A.$y$
B.$1 + y$
C.$3 + y$
D.$3y$

答案： D

当要求的值的幂指数是“和”的形式时,可以考虑逆用同底数幂的乘法法则进行求值运算。

答案： （由于题目未给出具体求值题目选项，假设此为按规则作答示例，若实际为选择题形式，按上述解析思路选择对应选项）
若为具体如上述示例类选择题，按上述方法计算后选择结果对应的选项。

5. $x^{2m + 2}$可以写成(D)

A.$2x^{m + 2}$
B.$x^{2m}+x^{2}$
C.$x^{2}\cdot x^{m + 1}$
D.$x^{2m}\cdot x^{2}$

答案： D

6. 若$a^{x}= 4$,$a^{y}= m$,则$a^{x + y}$的值为4m。

答案： 4m

7. 已知$2^{x + 2}= a$,则$2^{x}$的值为$\frac{a}{4}$。

答案： $\frac{a}{4}$