《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. 两点之间,线段最短。

答案： 线段

2. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。

答案： 垂线段

【例1】如图所示,村庄A,B在一条笔直的公路l的同侧,现要在公路上修建一个供应站,使供应站到两村庄之间的距离之和最短,应将供应站修建在哪？请依据轴对称的性质作出符合问题要求的点,并写出证明过程。

答案： 作图步骤：
1. 作点A关于直线l的对称点A'；
2. 连接A'B，交直线l于点P。点P即为所求供应站的位置。
证明过程：
∵点A与A'关于直线l对称，
∴PA=PA'（轴对称性质：对称轴上的点到两对称点距离相等）。
∴PA+PB=PA'+PB=A'B（等量代换）。
在直线l上任取异于点P的点P'，连接P'A、P'B、P'A'。
∵A与A'关于l对称，
∴P'A=P'A'（同理）。
∴P'A+P'B=P'A'+P'B。
在△P'A'B中，P'A'+P'B＞A'B（三角形两边之和大于第三边）。
∴P'A+P'B＞PA+PB。
故点P到A、B的距离之和最短。

解决“两点一线”型最短路径问题的方法
当两点在直线异侧时,连接两点,与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时,作其中某一点关于直线的对称点,对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点。

答案： 答题卡作答：
1. 当两点在直线异侧时：
步骤：直接连接两点，该线段与直线的交点即为最短路径经过的点。
结论：此时两点之间的线段与直线的交点为所求的最短路径点。
2. 当两点在直线同侧时：
步骤：
选择其中一个点，作该点关于直线的对称点；
连接这个对称点与另一个点，该线段与直线的交点即为最短路径经过的点。
结论：通过作对称点并连接，与直线的交点为所求的最短路径点。

1. (2024·重庆)如图所示,河道m的同侧有M,N两个村庄,计划铺设一条管道将河水引至M,N两地,下面的四个方案中,管道长度最短的是(根据插图中对应选项选择，此处因无插图无法确定具体字母，正确思路为上述对称法)

答案： （根据插图中对应选项选择，此处因无插图无法确定具体字母，正确思路为上述对称法）

2. 如图所示,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E,F。若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为(C)

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： C

3. 如图所示,在四边形ABCD中,∠B= ∠D= 90°,∠BAD= 140°,点E,F分别为BC和CD上的动点,连接AE,AF,EF。当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为(C)

A.60°
B.90°
C.100°
D.120°

答案： C

4. 如图所示,点E在等边三角形ABC的边BC上,BE= 8,射线CD⊥BC于点C,P是射线CD上一动点,F是线段AB上一动点,当EP+PF的值最小时,BF= 9,则AC的长为13。

答案： 13