《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. 作已知角的平分线
已知：$\angle AOB$. 求作：$\angle AOB$ 的平分线.
作法：如图所示.
(1)以点 $O$ 为圆心,适当长为半径作弧,分别交 $OA$,$OB$ 于点 $M$,$N$.
(2)分别以点 $M$,$N$ 为圆心,大于______的长为半径作弧,两弧在 $\angle AOB$ 的______相交于点 $C$.
(3)作射线______. 射线______即为 $\angle AOB$ 的平分线.

注意：(1)不要忽视“大于 $\frac{1}{2}MN$ 的长”这个条件,否则所作的两弧可能没有交点；
(2)两弧的交点也可能在 $\angle AOB$ 的外部,但这样得到的射线就不是 $\angle AOB$ 的平分线了；
(3)因为角的平分线是一条射线,因此在作法中不能简单地叙述为连接 $OC$.
2. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离______.
符号语言：如图所示.
$\because AO$ 平分 $\angle BAC$,
$OE\perp AB$,$OD\perp AC$,
$\therefore OE = OD$.

答案：

【例 1】如图所示,在 $\triangle ABC$ 中,按下列步骤作图：
第一步：在 $AB$,$AC$ 上分别截取 $AD$,$AE$,使 $AD = AE$；

第二步：分别以点 $D$ 和点 $E$ 为圆心、适当长(大于 $DE$ 的一半)为半径作弧,两弧交于点 $F$；
第三步：作射线 $AF$ 交 $BC$ 于点 $M$；
第四步：过点 $M$ 作 $MN\perp AB$ 于点 $N$.
下列结论一定成立的是(C)
A.$CM = MN$
B.$AC = AN$
C.$\angle CAM = \angle BAM$
D.$\angle CMA = \angle NMA$

答案： C

1. 如图所示,$AB// CD$,以点 $A$ 为圆心,适当长为半径作弧,分别交 $AB$,$AC$ 于点 $M$,$N$,再分别以点 $M$,$N$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}MN$ 的长为半径作弧,两弧相交于点 $P$,作射线 $AP$,交 $CD$ 于点 $E$. 若 $\angle C = 70^{\circ}$,则 $\angle AEC$ 的度数为(B)

A.$35^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： B

2. 如图所示,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 2\angle B$.

(1)根据要求作图：(不写作法,保留作图痕迹)作 $\angle ACB$ 的平分线交 $AB$ 于点 $D$；作 $\angle BDC$ 的平分线 $DE$ 交 $BC$ 于点 $E$；
(2)在(1)的基础上写出一对全等三角形,并加以证明.

答案：
(1) （作图痕迹略）
(2) △BDE≌△CDE.
证明：
∵CD平分∠ACB，∠ACB=2∠B，
∴∠BCD=∠ACB/2=∠B.
∴BD=CD（等角对等边）.
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠CDE.
在△BDE和△CDE中，
BD=CD，
∠BDE=∠CDE，
DE=DE，
∴△BDE≌△CDE（SAS）.