《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 是 $ BC $ 边的中点,分别以点 $ B $,$ C $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}BC $ 的长为半径画弧,两弧在直线 $ BC $ 上方交于点 $ P $,直线 $ PD $ 交 $ AC $ 于点 $ E $,连接 $ BE $,有下列结论：① $ ED \perp BC $；② $ BE = CE $；③ $ ED $ 平分 $ \angle BEC $。其中一定正确的有(D)

A.$ 0 $ 个
B.$ 1 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.$ 3 $ 个

答案： D

2. (2024·昆明)在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,$ AB \lt AC $。用尺规在 $ BC $ 边上找一点 $ D $,使 $ AD + DC = BC $,下列作法正确的是(C)

答案： C

3. 如图所示,已知平行四边形 $ ABCD $($ AD \gt AB $),连接 $ AC $。请用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹,不写作法)：作 $ AC $ 的垂直平分线 $ MN $,分别交 $ AD $,$ BC $,$ AC $ 于点 $ M $,$ N $,$ O $,连接 $ CM $ 和 $ AN $。

答案： 1. 以点$A$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧；再以点$C$为圆心，以相同长度为半径画弧，两弧交于两点（设为$P$、$Q$）。
2. 作直线$PQ$，交$AD$于点$M$，交$BC$于点$N$，交$AC$于点$O$，则直线$MN$就是$AC$的垂直平分线。
3. 连接$CM$和$AN$。
（图中应保留作图痕迹，即两个相交的弧）

4. (1)如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $ 是 $ AC $ 上一点。过点 $ D $ 作 $ DE \perp AB $,垂足为 $ E $(要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,连接 $ BD $,若 $ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle BDC = \angle A + \angle CBD $,求证：$ DC = DE $。

答案：
(1) 作图痕迹如下：以点D为圆心，适当长为半径画弧交AB于M、N两点；分别以M、N为圆心，大于1/2MN长为半径画弧，在AB下方交于点F；连接DF交AB于E，DE即为所求垂线。（保留弧及交点痕迹）
(2) 证明：
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，∠ABC=∠ABD+∠CBD。
在△BDC中，∠BDC+∠C+∠CBD=180°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°-∠CBD。
∵∠BDC=∠A+∠CBD（已知），
∴∠A+∠CBD=90°-∠CBD，即∠A=90°-2∠CBD。
又∠A=90°-∠ABC=90°-(∠ABD+∠CBD)，
∴90°-(∠ABD+∠CBD)=90°-2∠CBD，
化简得∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC。
∵DE⊥AB，∠C=90°（即DC⊥BC），
∴DC=DE（角平分线上的点到角两边距离相等）。

5. (教材题变式)下列图形是轴对称图形吗？如果是,作出它的对称轴。

答案： 图
(1)：不是轴对称图形，无对称轴。
图
(2)：是轴对称图形，对称轴为经过顶点（两图形的公共点）且垂直平分两图形相邻边夹角的平分线所在直线（或描述为使图形两部分沿此线对折后完全重合的直线，具体作图为连接两图形特殊点所成线段的中垂线），（实际作答时用直尺和圆规作出对称轴，这里文字表述为）作出其对称轴（一条直线，使图形沿此直线对折后两侧完全重合）。

6. 如图所示,已知 $ \triangle ABC $,尺规作图：作 $ AC $ 边上的高 $ BD $(不写作法,保留作图痕迹)。

答案： 1. 以点B为圆心，以适当半径画弧，交CA的延长线于两点（保证有两交点）。
2. 分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点。
3. 过B点和这个相交的点作直线，交CA的延长线于点D，则直线BD就是所求作的AC边上的高。 （保留作图痕迹：弧线及相交点等作图时留下的痕迹）

7. 如图所示,两条公路 $ OA $ 与 $ OB $ 相交于点 $ O $,在 $ \angle AOB $ 的内部有两个小区 $ C $ 与 $ D $,现要在 $ \angle AOB $ 的内部修建一个市场 $ P $,使市场 $ P $ 到两条公路 $ OA $,$ OB $ 的距离相等,且到两个小区 $ C $,$ D $ 的距离相等。
(1)市场 $ P $ 应修建在什么位置？(请用文字加以说明)
(2)在图中标出点 $ P $ 的位置(要求：用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并写出结论)。

答案：
(1)市场P应修建在∠AOB的角平分线与线段CD的垂直平分线的交点处。
(2)（作图痕迹：作出∠AOB的角平分线，作出线段CD的垂直平分线，两线交点即为点P）
结论：点P即为所求。