《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,在△ABC中,∠BAC= 2∠B,在AB上取AE= AC,连接CE,作AD⊥CE于点D,交BC于点F。设∠B= α。
(1)用含α的代数式表示∠AEC为90° - α,当∠BCE= 30°时,α= ______30°；
(2)判断BC与AD的数量关系,并说明理由。

答案：
(1) 90° - α；30°
(2) BC=2AD。理由如下：
延长AD至点G，使DG=AD，连接CG。
∵AD⊥CE，
∴∠ADC=∠GDC=90°。
在△ADC和△GDC中，AD=GD，∠ADC=∠GDC，DC=DC，
∴△ADC≌△GDC（SAS）。
∴CG=AC，∠G=∠CAD=α。
∵AC=AE，
∴CG=AE。
∵∠BAC=2α，AD平分∠BAC（等腰△AEC三线合一），
∴∠BAD=∠CAD=α。
在△ABF中，∠B=α，∠BAF=α，
∴BF=AF（等角对等边）。
∠ACB=180°-∠BAC-∠B=180°-3α，∠ACE=90°-α（第一问已求），
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=90°-2α。
∠GCD=∠ACD=90°-α（△ADC≌△GDC），
∴∠GCB=∠GCD-∠BCE=α=∠B。
∴△GBC为等腰三角形，GB=GC。
又
∵GC=AC=AE，
∴GB=AE。
在△ABG中，∠BAG=α，∠ABG=α，
∴AG=BG（等角对等边）。
∵AG=2AD（AG=AD+DG），
∴BC=AG=2AD。
综上，BC=2AD。

2. 如图所示,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN= AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H。求证：MP= NP。

答案： 证明：过点M作MG//BC，交AC于点G。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=AC=BC。
∵MG//BC，
∴∠AMG=∠B=60°，∠AGM=∠ACB=60°。
∴∠A=∠AMG=∠AGM=60°，
∴△AMG是等边三角形，
∴AM=MG=AG。
∵CN=AM，
∴MG=CN。
∵MG//BC，N在BC延长线上，
∴MG//CN，
∴∠GMP=∠CNP（两直线平行，内错角相等）。
在△GMP和△CNP中，
∠GMP=∠CNP，
∠GPM=∠CPN（对顶角相等），
MG=CN，
∴△GMP≌△CNP（AAS），
∴MP=NP。