《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,三角形 $ ABC $ 的面积为 $ 1 \mathrm{cm}^2 $, $ AP $ 垂直于 $ \angle ABC $ 的平分线 $ BP $ 于点 $ P $, 连接 $ PC $, 则 $ \triangle PBC $ 的面积是0.5 $ \mathrm{cm}^2 $.

答案： 0.5

2. (教材题变式)如图所示, $ \angle B = \angle C = 90° $, $ E $ 是 $ BC $ 的中点, $ DE $ 平分 $ \angle ADC $, 求证:
(1) $ AE $ 平分 $ \angle DAB $;
(2) $ AB + CD = AD $.

答案：
(1) 过点E作EF⊥AD于点F.
∵DE平分∠ADC，∠C=90°，EF⊥AD，
∴EF=EC（角平分线上的点到角两边距离相等）.
∵E是BC中点，
∴EC=EB，
∴EF=EB.
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AE \\ EF=EB \end{array}\right.$，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）.
∴∠EAF=∠EAB，即AE平分∠DAB.
(2) 在△DCE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠C=∠DFE=90° \\ ∠CDE=∠FDE \\ DE=DE \end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DFE（AAS）.
∴CD=DF.
由
(1)知Rt△AEF≌Rt△AEB，
∴AB=AF.
∵AD=AF+FD，
∴AD=AB+CD，即AB+CD=AD.

3. (2025· 内江)如图所示, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ CB = CD $, 对角线 $ AC $ 平分 $ \angle DAB $. 求证: $ \angle D + \angle ABC = 180° $.

答案： 证明：在AB上截取AE=AD，连接CE。
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC。
在△ADC和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=AE\\ \angle DAC=\angle EAC\\ AC=AC\end{array}\right.$
∴△ADC≌△AEC（SAS）。
∴∠D=∠AEC，CD=CE。
∵CB=CD，
∴CE=CB。
∴∠CEB=∠CBE（等边对等角）。
∵∠AEC+∠CEB=180°（邻补角定义），
∴∠D+∠CBE=180°。
∵∠CBE=∠ABC，
∴∠D+∠ABC=180°。

4. 如图所示, 已知 $ AD // BC $, $ \angle 1 = \angle 2 $, $ \angle 3 = \angle 4 $, 证明: $ AB = AD + BC $.

答案： 在AB上截取AF=AD，连接EF。
∵∠1=∠2，AE=AE，AF=AD，
∴△ADE≌△AFE(SAS)，
∴∠ADE=∠AFE。
∵AD//BC，
∴∠ADC+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补)。
∵∠ADE=∠AFE，
∴∠AFE+∠C=180°。
∵∠AFE+∠BFE=180°(平角定义)，
∴∠BFE=∠C。
∵∠3=∠4，BE=BE，
∴△BFE≌△BCE(AAS)，
∴BF=BC。
∵AB=AF+BF，AF=AD，BF=BC，
∴AB=AD+BC。

5. 如图所示, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle CAB = \angle CBA = 45° $, $ CA = CB $, 点 $ E $ 为 $ BC $ 的中点, $ CN \perp AE $ 于点 $ O $, 交 $ AB $ 于点 $ N $.
(1) 求证: $ \angle 1 = \angle 2 $;
(2) 求证: $ AE = CN + EN $.

答案：
(1)
∵∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠ACB=90°。
∵CN⊥AE，
∴∠AOC=90°，
∴∠CAE+∠ACO=90°。
∵∠ACB=90°，
∴∠BCN+∠ACO=90°，
∴∠CAE=∠BCN，即∠1=∠2。
(2) 过点B作BM⊥BC交CN延长线于点M。
∵BM⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠CBM=∠ACE=90°。
在△ACE和△CBM中，∠ACE=∠CBM，AC=CB，∠CAE=∠BCM，
∴△ACE≌△CBM(ASA)。
∴AE=CM，CE=BM。
∵E为BC中点，
∴CE=EB，
∴BM=EB。
∵∠CBA=45°，∠CBM=90°，
∴∠MBN=∠CBM-∠CBA=45°=∠EBN。
在△EBN和△MBN中，EB=MB，∠EBN=∠MBN，BN=BN，
∴△EBN≌△MBN(SAS)。
∴EN=MN。
∵CM=CN+MN，
∴AE=CN+EN。