《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. (1)我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
$15^{2}= 225= 1×2×100+25$,
$25^{2}= 625= 2×3×100+25$,
$35^{2}= 1225= 3×4×100+25$.
请根据上述规律填空：
①$55^{2}= $$5×6$$×100+25= $$3025$；
②$75^{2}= $$7×8$$×100+25= $$5625$；
③$95^{2}= $$9×10$$×100+25= $$9025$.
(2)若将(1)中两位数的十位数字设为$n$,请用含$n$的式子表示上面的规律,并用整式的运算证明该规律.
规律：$(10n + 5)^2=100n(n + 1)+25$
证明：
$(10n + 5)^2=(10n)^2+2×10n×5 + 5^2=100n^2+100n+25=100n(n + 1)+25$
(3)对于个位数字是 5 的三位数、四位数也同样适用上述规律,请用此规律计算：
①$115^{2}$；②$205^{2}$.
①$115^{2}=100×11×12 + 25=13200+25 = 13225$
②$205^{2}=100×20×21+25=42000+25 = 42025$

答案：
(1)
①$5×6$；$3025$
②$7×8$；$5625$
③$9×10$；$9025$
(2)
规律：$(10n + 5)^2=100n(n + 1)+25$
证明：
$(10n + 5)^2=(10n)^2+2×10n×5 + 5^2=100n^2+100n+25=100n(n + 1)+25$
(3)
①$115^{2}=100×11×12 + 25=13200+25 = 13225$
②$205^{2}=100×20×21+25=42000+25 = 42025$

2. (1)对于多项式$x^{2}y - 4y$,将其分解因式为$y(x + 2)(x - 2)$,若取$x = 15$,$y = 12$,则有$y = 12$,$x + 2 = 17$,$x - 2 = 13$,其中 12,17,13 为因式码,将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码 121317.若取$x = 10$,$y = 15$,则形成的密码是多少？
(2)已知多项式$2a^{2}b - 32b$,用(1)中的方法,当取$a = 20$,$b = 7$时,生成的密码是多少？
(3)(教材题)已知$16p^{4}-q^{4}$,当$p$,$q$分别取正整数时,用(1)中的方法生成密码,若密码的前两个因式码为 5,15,请求出第三个因式码.

答案：
(1)
首先对多项式$x^{2}y - 4y$分解因式：
$x^{2}y - 4y=y(x^{2}-4)=y(x + 2)(x - 2)$
当$x = 10$，$y = 15$时，$y = 15$，$x + 2=12$，$x - 2 = 8$。
将这三个因式码按从小到大的顺序排列为$8$，$12$，$15$，所以形成的密码是$81215$。
(2)
先对多项式$2a^{2}b - 32b$分解因式：
$2a^{2}b - 32b=2b(a^{2}-16)=2b(a + 4)(a - 4)$
当$a = 20$，$b = 7$时，$2b=14$，$a + 4 = 24$，$a - 4 = 16$。
将这三个因式码按从小到大的顺序排列为$14$，$16$，$24$，所以生成的密码是$141624$。
(3)
对多项式$16p^{4}-q^{4}$分解因式：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$16p^{4}-q^{4}=(4p^{2}+q^{2})(4p^{2}-q^{2})=(4p^{2}+q^{2})(2p + q)(2p - q)$
因为密码的前两个因式码为$5$，$15$。
设$2p - q = 5$，$2p+q = 15$，
将两式相加得：$4p=20$，解得$p = 5$。
把$p = 5$代入$2p - q = 5$，得$10 - q = 5$，解得$q = 5$。
把$p = 5$，$q = 5$代入$4p^{2}+q^{2}$得：
$4×5^{2}+5^{2}=4×25 + 25=125$
所以第三个因式码是$125$。
综上，答案依次为：
(1)$81215$；
(2)$141624$；
(3)$125$。