《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. 用尺规作已知线段的垂直平分线
已知线段 $ AB $,求作线段 $ AB $ 的垂直平分线 $ CD $。

作法：如图所示.(1)分别以点 $ A $ 和点 $ B $ 为圆心,大于____的长为半径作弧,两弧相交于 $ C $,$ D $ 两点；
(2)作直线 $ CD $。$ CD $ 就是所求作的直线。
2. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线
如图所示,已知直线 $ AB $ 和 $ AB $ 外一点 $ C $,求作：$ AB $ 的垂线,使它经过点 $ C $。

作法：如图所示.(1)以点 $ C $ 为____,适当长为____作弧,交 $ AB $ 于点 $ D $ 和 $ E $。
(2)分别以点 $ D $ 和点 $ E $ 为圆心,____于 $ \frac{1}{2}DE $ 的长为半径作弧,两弧相交于点 $ F $。
(3)作直线 $ CF $。直线 $ CF $ 就是所求作的垂线。

答案：

【例1】(教材题变式)如图所示,在公路 $ l $ 上修建一个公共汽车站点,$ A $,$ B $ 是路边两个新建小区,这个公共汽车站点建在什么位置,能使两个小区到车站的路程一样长？

答案： 设公共汽车站点建在点$P$处。
根据题意，要使$A$，$B$两个小区到车站的路程一样长，即$PA = PB$。
由线段垂直平分线的性质，点$P$应在线段$AB$的垂直平分线上。
因为点$P$还要在公路$l$上，
所以点$P$是线段$AB$的垂直平分线与公路$l$的交点。
作线段$AB$的垂直平分线：
分别以点$A$，$B$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，
过这两点作直线，该直线与公路$l$的交点即为点$P$。
所以公共汽车站点应建在线段$AB$的垂直平分线与公路$l$的交点处。

解决作图选点问题的方法：若要寻找到某两个点的距离相等的点,则要到这两个点所连线段的垂直平分线上去找,这在一些实际问题中也有着重要应用。利用线段垂直平分线的作法可以把已知线段 $ 2 $ 等分,$ 4 $ 等分,…$$,$ 2^{n} $ 等分。

答案： 答题（作图题一般表述步骤）如下:
作线段$AB$的垂直平分线：
分别以$A$，$B$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧分别相交于两点（设为$C$、$D$）；
作直线$CD$，$CD$即为线段$AB$的垂直平分线。
把线段$AB$进行$2^n$等分（以$4$等分为例，即$n = 2$）：
先作线段$AB$的垂直平分线$CD$与$AB$相交于$M$（$M$为$AB$中点）；
再分别作$AM$，$MB$的垂直平分线，设$AM$的垂直平分线与$AB$交点为$N_1$，$N_2$，$MB$的垂直平分线与$AB$交点为$N_3$，$N_4$，则$N_1$，$N_2$，$N_3$，$N_4$将线段$AB$四等分。
一般地，要$2^n$等分，依次对已得到的线段重复作垂直平分线的操作$n$次即可。
综上，如上为作已知线段的垂直平分线及利用垂直平分线作$2^n$等分点的方法。

1. 如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 80^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,分别以点 $ A $ 和点 $ B $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}AB $ 的长为半径画弧,两弧相交于点 $ M $,$ N $,作直线 $ MN $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,连接 $ AD $,则 $ \angle CAD $ 的度数为(C)

A.$ 50^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 40^{\circ} $
D.$ 35^{\circ} $

答案： C