《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. 判定两个三角形全等的基本事实——“角边角”
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)。
符号语言：
如图所示,在△ABC和△DEF中,
$\left\{ \begin{array}{l}\angle A = \angle D, \\AB = DE, \\\angle B = \angle E,\end{array} \right.$
∴△ABC≌△DEF(ASA)。

2. 用“角角边”判定两个三角形全等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)。
符号语言：
如图所示,在△ABC和△DEF中,
$\left\{ \begin{array}{l}\angle A = \angle D, \\\angle B = \angle E, \\BC = EF,\end{array} \right.$
∴△ABC≌△DEF(AAS)。

答案： 1. 两角；夹边；ASA
2. 相等；一组；对边；AAS

【例1】(教材题变式)如图所示,点D在AB上,点E在AC上,AB = AC,∠B = ∠C。求证：AE + BD = AB。

答案： 在△ABE和△ACD中，
$\left\{ \begin{array}{l}\angle A=\angle A,\\AB = AC,\\\angle B=\angle C.\end{array} \right.$
根据$ASA$（角边角）判定定理，可得△ABE ≌ △ACD。
所以$AD = AE$。
因为$AD + BD = AB$，把$AD = AE$代入可得$AE + BD = AB$。

获得证明三角形全等所需条件的方法
(1) 直接条件：即题目已知中直接给出的三角形的对应边(或角)相等；
(2) 间接条件：即已知中所给条件不是三角形的边和角相等,但据此进一步推理可得到三角形的对应边(或角)相等；
(3) 隐含条件：即已知条件中没有给出,但通过观察图形可以得到的直接应用的条件,如公共边、公共角、对顶角等。

答案： 答题卡作答如下：
在判定三角形全等时，获取所需条件的方法如下：
(1) 直接条件应用：
若题目已知中直接给出两三角形对应的边相等或角相等，如$\angle A = \angle D$，$AB = DE$，则可直接使用这些条件来证明三角形全等。
(2) 间接条件应用：
若题目条件不是直接给出三角形的边或角相等，但可以通过其他条件推导出来。
例如，若已知$AB = DE$，$AC = DF$，且$\angle BAC + \angle ACB = 180°$，$\angle EDF + \angle DFE = 180°$，同时给出$\angle ACB = \angle DFE$，则可以通过同角的补角相等推导出$\angle BAC = \angle EDF$，从而得到三角形全等的条件。
(3) 隐含条件应用：
观察图形，如两三角形有公共边或公共角，或存在对顶角关系，则这些条件可以直接应用。
例如，若两三角形有公共边$BC$，则$BC = BC$（自反性），可直接作为三角形全等的一个条件。
若两角为对顶角，则它们相等，也可直接作为三角形全等的一个条件。
最终结论：
在证明三角形全等时，应首先寻找直接条件，若直接条件不足，则考虑通过间接条件或隐含条件来补充所需条件。

1. 如图所示,AB//CD,C是BE的中点,直接应用“ASA”证明△ABC≌△DCE,还需添加的条件是(B)

A.AB = CD
B.∠ACB = ∠E
C.∠A = ∠D
D.AC = DE

答案： B

2. (2025·南充)如图所示,已知△ABC和△ADE,AB = AD,∠BAD = ∠CAE,∠B = ∠D,AD与BC交于点P,点C在DE上。求证：AC = AE。

答案： 证明：
因为$\angle BAD = \angle CAE$，
所以$\angle BAD + \angle DAC = \angle CAE + \angle DAC$，
即$\angle BAC = \angle DAE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，
$\begin{cases} \angle B = \angle D,\\ AB = AD ,\\ \angle BAC = \angle DAE. \end{cases}$
根据$ASA$（角边角）判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。
所以$AC = AE$。