《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

2. 如图所示,在某河道 $ l $ 的同侧有两个村庄 $ A $,$ B $,要在河道上建一个水泵站,这个水泵站建在什么位置,能使两个村庄到水泵站的距离相等？

答案： 连接 $A$、$B$ 两点。
利用尺规作线段 $AB$ 的垂直平分线，具体步骤如下：
分别以点 $A$、点 $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}AB$ 的长为半径画弧，两弧分别相交于两点。
过这两个交点作直线，与河道 $l$ 相交于点 $P$。
点 $P$ 即为所求的水泵站的位置，此时 $PA = PB$。

3. (教材题变式)如图所示,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A'B'C' $ 关于某条直线对称,该直线即为它们的对称轴,请你作出它们的对称轴,并写出作法。

答案： 作法：
1. 连接点A与点A'；
2. 分别以点A、A'为圆心，大于$\frac{1}{2}AA'$的长为半径作弧，两弧分别交于两点；
3. 过两弧交点作直线，该直线即为所求对称轴。

作对称轴“三字诀”
(1)找：找出对称图形的任意一对对称点；
(2)连：连接这对对称点；
(3)作：作所连线段的垂直平分线,即为所要求作的对称轴。

答案： 答题（作图题解答）如下，填入答题卡：
1. 从给定图形中任意找出一对对称点 $A$ 和 $A'$。
2. 使用直尺，连接这一对对称点，画出线段 $AA'$。
3. 选取线段 $AA'$ 的中点 $O$，使用圆规，以 $O$ 为圆心，以大于 $AA'$ 一半的长度为半径，分别在 $AA'$ 的两侧画弧，交于两点 $M$ 和 $N$。
4. 使用直尺，连接点 $M$ 和 $N$，画出线段 $MN$。
5. 线段 $MN$ 即为所求作的对称轴，且 $MN$ 垂直于 $AA'$ 并将其平分。

【例2】尺规作图：经过直线上一点作这条直线的垂线。
已知：直线 $ AB $ 和 $ AB $ 上一点 $ P $(如图所示),求作：$ AB $ 的垂线,使它经过点 $ P $。

答案： 解：作法：
1. 以点 P 为圆心，任意长为半径画弧，交直线 AB 于点 C、D；
2. 分别以点 C、D 为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧相交于点 E；
3. 作直线 PE。
直线 PE 即为所求作的垂线。

本题的作法也可以看作是作平角 $ \angle APB $ 的平分线。以大于 $ \frac{1}{2}MN $ 的长为半径作弧的目的是能得到两弧的交点 $ Q $。

答案： 答题（解题测量MN的垂直平分线步骤如下）：
已知线段$MN$，分别以$M$、$N$为圆心，以大于$\frac{1}{2}MN$的相同长度为半径画弧，两弧分别相交于点$Q$和点$Q'$，
用直尺连接$Q$、$Q'$，所得直线$QQ'$即为线段$MN$的垂直平分线。

4. 如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,以 $ A $ 为圆心,$ AC $ 长为半径作弧,交 $ BC $ 于 $ C $,$ D $ 两点,分别以点 $ C $ 和点 $ D $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}CD $ 长为半径作弧,两弧交于点 $ P $,作直线 $ AP $,交 $ CD $ 于点 $ E $,若 $ \triangle ABC $ 的周长为 $ 19 $,$ CE = 3 $,则 $ \triangle ABD $ 的周长为13。

答案： 13

5. 如图所示,已知 $ \triangle ABC $,求作：$ BC $ 边上的高,并标上字母(要求用尺规作图,不写作法,但要保留作图痕迹)。

答案： 作图如下（保留尺规作图痕迹，以圆规作弧相交两点连线得高）：
1. 以点$A$为圆心，适当半径画弧，交$BC$延长线或$CB$延长线于两点$P$、$Q$（确保与边或延长线相交）。
2. 分别以点$P$、$Q$为圆心，以大于$\frac{1}{2}PQ$的长度为半径画弧，两弧在$BC$的垂线方向相交于点$D$。
3. 作直线$AD$，即为所求$BC$边上的高，标为$AD$，垂足为$D$。
（图略，需实际作图显示圆规痕迹与垂直关系，最终高线$AD\perp BC$）。