《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

8. (2025·芜湖)如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$∠B= 90^{\circ }$,点$E在边AB$上,$DE= CD$,$DF⊥AC于点F$,$BE= CF$.若$AB= 12$,$BD= 4$,$\triangle ABC的面积是54$,则$AC$的长为(B)

A.13
B.15
C.16
D.18

答案： B

9. (分类讨论)如图所示,$∠C= 90^{\circ }$,$AC= 10$,$BC= 5$,$AX⊥AC$,点$P和点Q从点A$出发,分别在线段$AC和射线AX$上运动,且$AB= PQ$,当点$P运动到AP= $5或10时,$\triangle ABC与\triangle APQ$全等.

答案： $5$或$10$

10. 如图所示,在四边形$ABCD$中,$∠B= 90^{\circ }$,连接对角线$AC$,且$AC= AD$,点$E在边BC$上,连接$DE$,过点$A作AF⊥DE$,垂足为$F$,若$AB= AF$.求证:
(1)$\triangle ADF\cong \triangle ACB$;
(2)$DF= EF+CE$.

答案：
(1)
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，又∠B=90°，
∴△ADF和△ACB均为直角三角形。
在Rt△ADF和Rt△ACB中，
∵AD=AC，AF=AB，
∴Rt△ADF≌Rt△ACB（HL）。
(2) 连接AE。
由
(1)知△ADF≌△ACB，
∴DF=CB。
∵∠B=90°，AF⊥DE，
∴∠ABE=∠AFE=90°。
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
∵AB=AF，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴BE=EF。
∵CB=BE+CE，
∴CB=EF+CE。
又
∵DF=CB，
∴DF=EF+CE。

11. 如图①所示,$E$,$F分别为线段AC$上的两个动点,且$DE⊥AC于点E$,$BF⊥AC于点F$,若$AB= CD$,$AF= CE$,$BD交AC于点M$.
(1)求证:$MB= MD$,$MF= ME$.
(2)当$E$,$F$两点移动至如图②所示的位置时,其余条件不变,上述结论是否仍然成立? 请说明理由.

答案：
(1)证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°（垂直定义）。
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\begin{cases} AB=CD \\ AF=CE \end{cases}$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）。
∴BF=DE（全等三角形对应边相等）。
∵∠BFM=∠DEM=90°，∠BMF=∠DME（对顶角相等），BF=DE，
∴△BMF≌△DME（AAS）。
∴MB=MD，MF=ME（全等三角形对应边相等）。
(2)结论仍然成立。理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°（垂直定义）。
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\begin{cases} AB=CD \\ AF=CE \end{cases}$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）。
∴BF=DE（全等三角形对应边相等）。
∵∠BFM=∠DEM=90°，∠BMF=∠DME（对顶角相等），BF=DE，
∴△BMF≌△DME（AAS）。
∴MB=MD，MF=ME（全等三角形对应边相等）。