《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

运用平方差公式分解因式
(1)公式：$a^{2}-b^{2}=$$(a + b)(a - b)$；
(2)语言表述：两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.

答案：
(1)$(a + b)(a - b)$；
(2)和，差

【例1】下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是(C)
A.$a^{2}+b^{2}$
B.$2a-b^{2}$
C.$9a^{2}-b^{2}$
D.$-a^{2}-b^{2}$

答案： C

【例2】将$1-4y^{2}$分解因式的结果是(A)
A.$(1-2y)(1+2y)$
B.$(2-y)(2+y)$
C.$(1-2y)(2+y)$
D.$(2-y)(1+2y)$

答案： A

1. 下列因式分解正确的是(A)
A.$4m^{2}-9= (2m+3)(2m-3)$
B.$x^{2}+4y^{2}= (x+2y)^{2}$
C.$a^{2}-b^{2}= (a-b)^{2}$
D.$x^{2}-4y^{2}= (x+4y)(x-4y)$

答案： A

2. 分解因式：
(1)$-3x^{3}y+27xy$；
(2)$-4m^{2}+25n^{2}$；
(3)$(x-1)^{2}-9$；
(4)$(x+2y)^{2}-(x-y)^{2}$；
(5)$1-16a^{4}$.

答案：
(1)
解：原式$= - 3xy(x^{2} - 9)$
$= - 3xy(x + 3)(x - 3)$；
(2)
解：原式$= (5n)^{2} - (2m)^{2}$
$= (5n + 2m)(5n - 2m)$；
(3)
解：原式$= (x - 1)^{2} - 3^{2}$
$= (x - 1 + 3)(x - 1 - 3)$
$= (x + 2)(x - 4)$；
(4)
解：原式$= \lbrack(x + 2y) + (x - y)\rbrack\lbrack(x + 2y) - (x - y)\rbrack$
$= (2x + y)(3y)$
$= 3y(2x + y)$（或$= y(2x + y) × 3=y(2x + y)(3)$；
(5)
解：原式$= 1^{2} - (4a^{2})^{2}$
$= (1 + 4a^{2})(1 - 4a^{2})$
$= (1 + 4a^{2})(1 + 2a)(1 - 2a)$。

【例3】若$a+b= 4$,$a-b= 1$,求$(a+2)^{2}-(b-2)^{2}$的值.

答案： 答题卡：
由平方差公式$x^2 - y^2=(x + y)(x - y)$，对$(a + 2)^2-(b - 2)^2$变形可得：
$(a + 2)^2-(b - 2)^2=[(a + 2)+(b - 2)][(a + 2)-(b - 2)]=(a + b)(a - b + 4)$。
已知$a + b = 4$，$a - b = 1$，将其代入上式可得：
$4×(1 + 4)=4×5 = 20$。
综上，$(a + 2)^2-(b - 2)^2$的值为$20$。

3. 已知$m^{2}-n^{2}= -12$,$m+n= 3$,则$m-n= $$-4$.

答案： $-4$

4. 求$(4x+y)^{2}-9y^{2}$的值,其中$x+y= 2$,$y-2x= 3$.

答案： $(4x + y)^2 - 9y^2$
$=(4x + y)^2 - (3y)^2$
$=(4x + y + 3y)(4x + y - 3y)$
$=(4x + 4y)(4x - 2y)$
$=4(x + y) \cdot 2(2x - y)$
$=8(x + y)(2x - y)$
已知$x + y = 2$，$y - 2x = 3$，则$2x - y = -3$。
将$x + y = 2$，$2x - y = -3$代入上式：
$8×2×(-3)$
$=16×(-3)$
$=-48$
$-48$