《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

如图所示,已知△ABC,BF是△ABC的外角∠CBD的平分线,CG是△ABC的外角∠BCE的平分线,BF,CG相交于点P. 求证：

(1)点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等；
(2)点P在∠A的平分线上.

答案：
(1)过点P作PN⊥AB于点N，PM⊥BC于点M，PQ⊥AC于点Q。
∵BF是∠CBD的平分线，点P在BF上，
∴PN=PM（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CG是∠BCE的平分线，点P在CG上，
∴PQ=PM（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴PN=PM=PQ，即点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等。
(2)由
(1)知PN=PQ，即点P到AB,AC所在直线的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。

1. 如图所示,点P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点. 求证：点P在∠ACN的平分线上.

答案： 证明：过点$P$作$PD\perp BM$于$D$，$PE\perp AC$于$E$，$PF\perp BN$于$F$。
∵点$P$在$\angle MAC$的平分线上，$PD\perp BM$，$PE\perp AC$，
∴$PD = PE$（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵点$P$在$\angle ABC$的平分线上，$PD\perp BM$，$PF\perp BN$，
∴$PD = PF$（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∴$PE = PF$（等量代换）。
∵$PE\perp AC$，$PF\perp BN$，
∴点$P$在$\angle ACN$的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。

2. 如图所示,点P是△ABC外一点,过点P分别作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别是D,E,F,且PD= PE= PF,过点P作PM//BC,PM分别交AB,AC于M,N两点. 求证：MN= BM-NC.

答案： 连接PB，PC.
∵PD⊥AB，PE⊥BC，且PD=PE，
∴点P在∠ABC的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠ABP=∠CBP.
∵PM//BC，
∴∠MPB=∠CBP（两直线平行，内错角相等），
∴∠MPB=∠ABP（等量代换），
∴PM=BM（等角对等边）.
同理，
∵PE⊥BC，PF⊥AC，且PE=PF，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴∠ACP=∠BCP.
∵PM//BC，
∴∠NPC=∠BCP（两直线平行，内错角相等），
∴∠NPC=∠ACP（等量代换），
∴PN=NC（等角对等边）.
∵点N在PM上，
∴PM=PN+MN，
∴BM=NC+MN（等量代换），
∴MN=BM-NC.