《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. (1)如图所示是 2025 年 11 月的月历,一个方框圈出了四个数,我们作如下计算:$4×12= 48$,$5×11= 55$,$55 - 48 = 7$. 请你用一个方框另外圈出 4 个数,按相同方法计算,你有什么发现?

(2)请用整式的运算证明(1)中的规律(提示:可设最小的一个数是$n$). 你还能发现对角线上的这两对有其他规律吗?

答案：
(1)另圈出四个数，如3、4、10、11，计算：3×11=33，4×10=40，40-33=7；再圈5、6、12、13，5×13=65，6×12=72，72-65=7。发现：结果均为7。
(2)证明：设最小数为n，则方框中四个数为n，n+1，n+7，n+8。
右上角与左下角乘积：(n+1)(n+7)=n²+8n+7；
左上角与右下角乘积：n(n+8)=n²+8n；
差：(n²+8n+7)-(n²+8n)=7，得证。
其他规律：对角线上两数之和相等，即n+(n+8)=(n+1)+(n+7)=2n+8。

2. (1)计算下列两组乘法算式的结果(每组算式中两个因数的和为定值),你发现结果有什么规律?
①$30×30$,$35×25$,$43×17$,$52×8$;
②$50×50$,$53×47$,$74×26$,$91×9$.
(2)若两数的和为定值$2n$,你能用整式的运算说明(1)中的这一规律吗?
(3)请用(2)中发现的规律解决问题:用$10$m 长的绳子围成一个长方形,长方形的最大面积是多少? 此时长方形的两条邻边长有什么关系? 你能得出更一般的结论吗?

答案：
(1)
①
$30×30 = 900$；
$35×25=(30 + 5)×(30 - 5)=30^{2}-5^{2}=900 - 25 = 875$；
$43×17=(30 + 13)×(30 - 13)=30^{2}-13^{2}=900 - 169 = 731$；
$52×8=(30 + 22)×(30 - 22)=30^{2}-22^{2}=900 - 484 = 416$。
规律：两个数的和为定值时，两数相等时乘积最大，两数差越大，乘积越小。
②
$50×50 = 2500$；
$53×47=(50 + 3)×(50 - 3)=50^{2}-3^{2}=2500 - 9 = 2491$；
$74×26=(50 + 24)×(50 - 24)=50^{2}-24^{2}=2500 - 576 = 1924$；
$91×9=(50 + 41)×(50 - 41)=50^{2}-41^{2}=2500 - 1681 = 819$。
规律同①。
(2)
设两个数为$n + m$，$n - m$，它们的和为$2n$。
则$(n + m)(n - m)=n^{2}-m^{2}$。
当$m = 0$时，两数都为$n$，乘积$n^{2}$最大。
(3)
设长方形的一条边长为$x$米，则邻边长为$(5 - x)$米，面积为$S=x(5 - x)=5x - x^{2}=-x^{2}+5x$。
根据规律，当$x = 5 - x$，即$x = 2.5$时，面积最大，$S_{max}=2.5×2.5 = 6.25$平方米。
此时长方形的两条邻边长相等。
一般结论：当两个数的和为定值时，这两个数的差为$0$（即两数相等）时，它们的乘积最大。