《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

13. 如图所示,$AB = AC$,$AE = EC = CD$,$\angle A = 60^{\circ}$.若$EF = 2$,则$DF$的长为______.

4

答案： 4

14. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle B = 30^{\circ}$,线段$AC的垂直平分线交AC于点E$,交$BC于点F$,连接$AF$.若$BC = 9$,则$AF = $3.

答案： 3

15. (2025·广西)如图①所示,已知$\triangle ABC$中,点$D在AB$边上,$DE// BC$,$DE交边AC于点E$,且$DE平分\angle ADC$.
(1)求证：$DB = DC$；
(2)如图②所示,在$BC边上取点F$,使$\angle DFC = 60^{\circ}$,若$BC = 7$,$BF = 2$,求$DF$的长.

答案：
(1)见解析；
(2)3。

16. (2024·眉山中考)如图所示,在$\triangle ABC$中,AB = AC = 6,BC = 4,分别以点A,点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧交于点E,F,过点E,F作直线交AC于点D,连接BD,则$\triangle BCD$的周长为(C)

A.7
B.8
C.10
D.12

答案： C

17. (2024·达州)如图所示,线段$AC$,$BD相交于点O$,且$AB// CD$,$AE\perp BD于点E$.
(1)尺规作图：过点$C作BD$的垂线,垂足为点$F$,连接$AF$,$CE$；(不写作法,保留作图痕迹,并标明相应的字母)
(2)若$AB = CD$,求证：$AE = CF$.(若前问未完成,可画草图完成此问)

答案：
(1) （作图痕迹保留：以点C为圆心画弧交BD于两点，再分别以这两点为圆心画弧交于一点，过C与该点作直线交BD于F，连接AF、CE。图中标明F、AF、CE）
(2) 证明：
∵AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等）。
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°。
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD，
∠ABD=∠CDB，
AB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）。
∴AE=CF。