《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

11. (1) 若$3x - y = 1$,则代数式$8^{x} ÷ 2^{y} ÷ 2$的值为1。
(2) 已知$2^{a} ÷ 4^{b} = 16$,则式子$2b - a + 1$的值是-3。

答案：
(1) 1
(2) -3

12. (1) 若$a^{m} = 8$,$a^{n} = x$,求$a^{2m - 3n}$的值；
(2) 若$4^{m} = d$,$8^{n} = e$,求$2^{4m - 6n}$的值。

答案：
(1)
已知 $a^{m} = 8$，$a^{n} = x$。
根据幂的乘方，有 $a^{2m} = (a^{m})^{2} = 8^{2} = 64$，
$a^{3n} = (a^{n})^{3} = x^{3}$。
根据同底数幂的除法，有 $a^{2m - 3n} = a^{2m} ÷ a^{3n} = \frac{64}{x^{3}}$。
(2)
已知 $4^{m} = d$，$8^{n} = e$。
将 $4^{m}$ 和 $8^{n}$ 转化为 $2$ 的幂次形式，有 $4^{m} = (2^{2})^{m} = 2^{2m} = d$，
$8^{n} = (2^{3})^{n} = 2^{3n} = e$。
根据幂的乘方，有 $2^{4m} = (2^{2m})^{2} = d^{2}$，
$2^{6n} = (2^{3n})^{2} = e^{2}$。
根据同底数幂的除法，有 $2^{4m - 6n} = 2^{4m} ÷ 2^{6n} = \frac{d^{2}}{e^{2}}$。

13. 小明学习了“幂的运算”后做了这样一道题：若$(2x - 3)^{x + 3} = 1$,求$x$的值。他解出来的结果为$x = 2$,老师说小明考虑问题不全面,聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？
小明解答过程如下：
解：$\because 1的任何次幂为1$,
$\therefore 2x - 3 = 1$,解得$x = 2$。且$2 + 3 = 5$,
故$(2x - 3)^{x + 3} = (2 × 2 - 3)^{2 + 3} = 1^{5} = 1$,
$\therefore x = 2$。
请你写出完整的解答过程。

答案： 解：要使$(2x - 3)^{x + 3} = 1$成立，需考虑以下几种情况：
$1^{\circ}$ 当指数为$0$，底数不为$0$时：
由$x + 3 = 0$，得$x = -3$，
此时$2x - 3 = 2×(-3) - 3 = -9 \neq 0$，
所以$x = -3$是解。
$2^{\circ}$当底数为$1$时：
由$2x - 3 = 1$，得$x = 2$，
此时$x + 3 = 5$，
所以$(2x - 3)^{x + 3} = 1^5 = 1$，
所以$x = 2$是解。
$3^{\circ}$当底数为$-1$时：
由$2x - 3 = -1$，得$x = 1$，
此时$x + 3 = 4$，
为保证结果为正，需要指数为偶数，当前指数为4，满足条件。
所以$(2x - 3)^{x + 3} = (-1)^4 = 1$，
所以$x = 1$是解。
综上所述，$x$的值为$2$，$ - 3$或$1$。