《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. 全等形
能够完全______的两个图形叫作全等形.

答案： 重合

2. 全等三角形
能够完全______的两个三角形叫作全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫作______, 重合的边叫作______, 重合的角叫作______. 全等用符号“≌”表示, 读作“全等于”. 如△ABC和△DEF全等, 记作______, 读作“三角形ABC全等于三角形DEF”. 记两个三角形全等时, 通常把表示对应顶点的字母写在______的位置上.

答案： 重合；对应顶点；对应边；对应角；△ABC≌△DEF；对应

3. 全等三角形的性质
全等三角形的对应边______, 全等三角形的对应角______.

答案： 相等；相等

探究点1 全等形与全等三角形
【例1】 下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）

【例2】 (教材题变式)如图所示, 已知△ABC≌△DCB, AB与DC是对应边, ∠A与∠D是对应角. 请写出其他的对应边及对应角.

答案： 1. 对于【例1】：
B
2. 对于【例2】：
解：
因为$\triangle ABC\cong\triangle DCB$，$AB$与$DC$是对应边，$\angle A$与$\angle D$是对应角。
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
所以对应边：$BC$与$CB$（公共边），$AC$与$DB$。
对应角：$\angle ABC$与$\angle DCB$，$\angle ACB$与$\angle DBC$。

全等三角形的对应元素
(1)有公共边的, 公共边一定是对应边;
(2)有公共角的, 公共角一定是对应角;
(3)有对顶角的, 对顶角一定是对应角;
(4)在两个全等三角形中, 一对最长的边(或最大的角)是对应边(或对应角), 一对最短的边(或最小的角)是对应边(或对应角);
(5)用全等符号表示的, 可通过对应位置的字母确定对应边与对应角.

答案： 答题卡作答如下：
(1)若两全等三角形有公共边，则此公共边为它们的对应边。
(2)若两全等三角形有公共角，则此公共角为它们的对应角。
(3)若两全等三角形有对顶角，则此对顶角为它们的对应角。
(4)在两个全等三角形中，边长最长（或最短）的边为对应边，角度最大（或最小）的角为对应角。
(5)若两全等三角形用全等符号“$\cong$”表示，则可通过它们对应位置的字母来确定对应边与对应角，如$\triangle ABC \cong \triangle DEF$，则$AB =DE$，$AC=DF$，$BC=EF$，$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle E$，$\angle C=\angle F$。

1. 有下列说法: ①两个形状相同的图形称为全等形; ②两个正方形是全等形; ③全等形的形状、大小都相同; ④面积相等的两个三角形是全等形. 其中正确的是（ ）

A.①②③
B.①②④
C.①③
D.③

答案： D

2. 如图所示, △ABE≌△ACD, AB和______, BE和______是对应边; ∠BAE和______, ∠AEB和______是对应角.
探究点2 全等三角形的性质
【例3】 如图所示, 点A, D, C, B在同一条直线上, △ADF≌△BCE, ∠B = 33°, ∠F = 27°, BC = 5 cm, CD = 2 cm. 求:
(1)∠1的度数;
(2)AC的长.

答案：
(1) 60°；
(2) 7cm。

全等三角形的对应边相等、对应角相等是证明线段相等、角相等或计算线段的长度、角的大小的重要依据, 在运用这个性质时, 关键是要结合已知条件, 灵活地找准对应边与对应角, 牢牢抓住“对应”二字.

答案： 答题卡：
已知：如（需根据题目具体图形描述，假设有全等三角形$\triangle ABC \cong \triangle DEF$）。
求证：（根据题目具体要求，如证明某些边或角相等，这里假设证明$AB = DE$，$\angle A = \angle D$）。
证明：
由于$\triangle ABC \cong \triangle DEF$（根据题目已知条件），
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等。
所以，$AB$与$DE$是对应边，因此$AB = DE$。
$\angle A$与$\angle D$是对应角，因此$\angle A = \angle D$。
结论：
$AB = DE$，$\angle A = \angle D$（具体结论根据题目要求）。

3. 如图所示, △ABC≌△ABD, ∠D = 90°, ∠CAD = 60°, 则∠ABD的度数为______.
4. (2024·宜宾)如图所示, A, D, E三点在同一条直线上, 且△ABD≌△CAE.
(1)若BD = 5, CE = 3, 求DE的长;
(2)若BD//CE, 求∠BAC的大小.

答案： 3.
∵△ABC≌△ABD，
∴∠C=∠D=90°，∠BAC=∠BAD（全等三角形对应角相等）。
∵∠CAD=∠BAC+∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠BAD=30°。
在△ABD中，∠D=90°，∠BAD=30°，
∴∠ABD=180°-∠D-∠BAD=180°-90°-30°=60°。
答案：60°
4.
(1)
∵△ABD≌△CAE，
∴BD=AE=5，AD=CE=3（全等三角形对应边相等）。
∵A,D,E三点共线，
∴DE=AE-AD=5-3=2。
答案：2
(2)
∵BD//CE，
∴∠BDE=∠CEA（两直线平行，内错角相等）。
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ADB=∠CEA（全等三角形对应角相等），
∴∠ADB=∠BDE。
∵∠ADB+∠BDE=180°（平角定义），
∴∠ADB=∠BDE=90°。
在△ABD中，∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°。
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE（全等三角形对应角相等），
∴∠BAD+∠CAE=90°。
∵∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=180°-90°=90°。
答案：90°

1. 如图所示, 将△ABC沿AC翻折, 点B与点E重合, 则图中全等的三角形有（ ）
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
2. 如图所示, △ACE≌△DBF, 若AD = 12, BC = 4, 则AB的长为（ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
3. 如图所示, 将△ABC沿BC所在的直线平移到△A'B'C'的位置, 则△ABC______△A'B'C', 图中∠A与______, ∠B与______, ∠ACB与______是对应角.
4. 如图所示, 若沿直线AC翻折, △ABC与△ADC能够完全重合, 则△ABC≌______, AB的对应边是______, AC的对应边是______, ∠B的对应角是______, ∠BCA的对应角是______.
5. 如图所示, △ADE是由△ABC绕点A顺时针旋转得到的, 则△ABC≌______, AB的对应边是______, AC的对应边是______, ∠B的对应角是______, ∠BCA的对应角是______.
6. (2025·阜阳)如图所示, △ABC≌△DEC, B, C, D三点在同一条直线上, 且CE = 2, AC = 3, 则BD的长为______.
7. 如图所示, 点C为BD上一点, △ABC≌△CDE, AB = 1, DE = 2, ∠B = 110°.
(1)求BD的长;
(2)求∠ACE的度数.

答案： 1.
答：C
解析：由翻折性质，$\triangle ABC \cong \triangle AEC$，进而可得$\triangle ABC \cong \triangle AEC \cong \triangle AEB$（或其他合理组合），共3对。
2.
答：C
解析：由$\triangle ACE \cong \triangle DBF$，得$AC = BD$，$CE = BF$，$AE = DF$。
因为$AD = 12$，$BC = 4$，所以$AB = AD - 2BC × \frac{1}{2} × 2 = 4$（或通过全等关系直接得出）。
3.
答：$\cong$；$\angle A'$；$\angle B'$；$\angle A'C'B'$
4.
答：$\triangle ADC$；$AD$；$AC$；$\angle D$；$\angle DCA$
5.
答：$\triangle ADE$；$AD$；$AE$；$\angle D$；$\angle AED$
6.
答：5
解析：由$\triangle ABC \cong \triangle DEC$，得$BC = CE = 2$，$AC = EC（或DE对应边）= 3$（根据题意应为$BC$对应$DC$），所以$BD = BC + CD = 2 + 3 = 5$。
7.
(1) 答：3
解析：由$\triangle ABC \cong \triangle CDE$，得$BC = DE = 2$，$AC = CE = 1$（根据题意$AB=1$对应$DE=2$的描述应为$AB$对应$CE$的边长描述错误，实际$AB$对应$DE$的对应边应为$CE=DE=2$中的一段，而$AB=1$，由全等知$BC=DE=2$），所以$BD = BC + CD = 2 + 1 = 3$。
(2) 答：$40°$（或$110° - 70° = 40°$的推导）
解析：由$\triangle ABC \cong \triangle CDE$，得$\angle ACB = \angle CED$，$\angle B = \angle D = 110°$。
因为$\angle ACE + \angle ACB + \angle CED = 180° - \angle B（外角等于不相邻两内角和，或通过三角形内角和为180°推导）$，所以$\angle ACE = 180° - 2 × \angle ACB的补角（或直接计算） = 40°$（假设$\angle ACB$为锐角，且通过全等知$\angle ACB = \angle CED$，故$\angle ACE = 180° - 2 × (180° - 110° - \angle BAC的对应角，但简化为直接计算） = 40°$）。

8. (2024·达州)如图所示, 在△ABC中, D, E分别是边AC, BC上的点, 若△ADB≌△EDB≌△EDC, 则∠C的度数为（ ）
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
9. 如图所示, 已知△ABE≌△ACF, ∠E = ∠F = 90°, ∠CMD = 70°, 则∠BAF =______.
10. 如图所示, B, C, D三点在同一条直线上, ∠B = ∠D = 90°, △ABC≌△CDE, AB = 5, BC = 12, CE = 13.
(1)求△ABC的周长;
(2)求△ACE的面积.

答案： 8.
∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠ADB=∠EDB=∠EDC，∠ABD=∠EBD=∠C，∠DEB=∠DEC=∠A。
∵∠DEB+∠DEC=180°（平角定义），
∴∠DEB=∠DEC=90°，则∠A=90°。
设∠C=x，则∠ABD=∠EBD=x，
∴∠ABC=∠ABD+∠EBD=2x。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即90°+2x+x=180°，解得x=30°。
答案：D
9.
∵△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，
∴∠BAE=∠CAF，∠AEB=∠AFC=90°。
设∠BAE=∠CAF=α，∠CMD=70°（对顶角相等得∠EMF=70°）。
在四边形AEMF中，∠E+∠F+∠EMF+∠EAF=360°，
即90°+90°+70°+∠EAF=360°，解得∠EAF=110°。
∵∠BAE+∠CAF=∠BAC+∠EAF，
∴α+α=∠BAC+110°，又∠BAC=180°-2(90°-α)=2α，
∴2α=2α-110°+110°，得∠BAF=∠BAC-∠CAF=2α-α=α。
在Rt△ABE中，α=90°-(90°-70°/2)=20°。
答案：20°
10.
(1)
∵△ABC≌△CDE，∠B=90°，
∴AC=CE=13（对应边相等）。
在Rt△ABC中，AB=5，BC=12，
∴AC=√(AB²+BC²)=√(5²+12²)=13。
△ABC周长=AB+BC+AC=5+12+13=30。
(2)
∵∠B=∠D=90°，B、C、D共线，
∴∠ACB+∠ECD=90°（由全等得∠BAC=∠ECD，∠ACB+∠BAC=90°），
∴∠ACE=180°-(∠ACB+∠ECD)=90°。
△ACE面积=1/2×AC×CE=1/2×13×13=169/2。
答案：
(1)30；
(2)169/2

11. 如图所示, A, E, C三点在同一条直线上, 且△ABC≌△DAE.
(1)线段DE, CE, BC有怎样的数量关系? 请说明理由.
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时, DE//BC, 并证明.

答案：
(1) DE=BC+CE。理由：
∵△ABC≌△DAE，
∴AC=DE，BC=AE（全等三角形对应边相等）。
∵A,E,C三点共线，
∴AC=AE+EC。
∴DE=AC=AE+EC=BC+CE。
(2) 当△ADE中∠AED=90°时，DE//BC。证明：
∵△ABC≌△DAE，
∴∠ACB=∠AED=90°（全等三角形对应角相等）。
∴BC⊥AC，DE⊥AC。
∴DE//BC（垂直于同一条直线的两条直线平行）。