《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

13. 若代数式 $\frac{(x - 2)(x + 1)}{\vert x\vert - 1}$ 的值为零,则 $x$ 的值为(D)
A.$2$ 或 $-1$
B.$-1$
C.$\pm 1$
D.$2$

答案： D

14. 已知非零实数 $m$,$n$ 满足 $n = \frac{m}{m - 1}$,则 $\frac{m + n}{mn}$ 的值等于1。

答案： 1

15. 已知 $x$ 为整数,且分式 $\frac{9x - 7}{3x + 1}$ 的值也为整数,则满足条件的所有 $x$ 的值之和为0。

答案： 0

16. 已知分式 $\frac{x - 1}{2 - 3x}$。
(1)若分式无意义,求 $x$ 的值；
(2)若分式的值是零,求 $x$ 的值；
(3)若分式的值是正数,求 $x$ 的取值范围。

答案：
(1)分式无意义时，分母为0，即$2 - 3x = 0$，解得$x = \frac{2}{3}$。
(2)分式的值为0时，分子为0且分母不为0，分子$x - 1 = 0$得$x = 1$，此时分母$2 - 3×1 = -1 ≠ 0$，故$x = 1$。
(3)分式的值为正数，则分子分母同号，分两种情况：
①$\begin{cases}x - 1 ＞ 0 \\ 2 - 3x ＞ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x ＞ 1 \\ x ＜ \frac{2}{3}\end{cases}$，无解；
②$\begin{cases}x - 1 ＜ 0 \\ 2 - 3x ＜ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x ＜ 1 \\ x ＞ \frac{2}{3}\end{cases}$，即$\frac{2}{3} ＜ x ＜ 1$。
综上，$x$的取值范围是$\frac{2}{3} ＜ x ＜ 1$。

17. 根据有理数除法法则：“两数相除,同号得正,异号得负”可知：
若 $\frac{a}{b} ＞ 0$,则 $\begin{cases}a ＞ 0, \\ b ＞ 0\end{cases} $ 或 $\begin{cases}a ＜ 0, \\ b ＜ 0\end{cases} $。
(1)若 $\frac{a}{b} ＜ 0$,则$\begin{cases}a ＞ 0 \\ b ＜ 0\end{cases}$或______$\begin{cases}a ＜ 0 \\ b ＞ 0\end{cases}$(请完成填空)；
(2)根据上述规律：
① 求不等式 $\frac{x - 2}{x + 1} ＞ 0$ 的解集；
② 求不等式 $\frac{2x + 3}{x - 1} ＜ 0$ 的解集。

答案：
(1)若$\frac{a}{b} \lt 0$，
则$\begin{cases}a \gt 0. \\ b \lt 0.\end{cases}$
或$\begin{cases}a \lt 0. \\ b \gt 0. \end{cases}$
(2)①
因为$\frac{x - 2}{x + 1} \gt 0$，
根据同号得正，
则$\begin{cases}x - 2 \gt 0. \\ x + 1 \gt 0. \end{cases}$
或$\begin{cases}x - 2 \lt 0. \\ x + 1 \lt 0. \end{cases}$
解$\begin{cases}x - 2 \gt 0. \\ x + 1 \gt 0. \end{cases}$
得$\begin{cases}x \gt 2. \\ x \gt -1. \end{cases}$
即$x \gt 2$。
解$\begin{cases}x - 2 \lt 0. \\ x + 1 \lt 0. \end{cases}$
得$\begin{cases}x \lt 2. \\ x \lt -1.\end{cases}$
即$x \lt -1$。
所以不等式$\frac{x - 2}{x + 1} \gt 0$的解集为$x \gt 2$或$x \lt -1$。
②
因为$\frac{2x + 3}{x - 1} \lt 0$，
根据异号得负，
则$\begin{cases}2x + 3 \gt 0. \\ x - 1 \lt 0 .\end{cases}$
或$\begin{cases}2x + 3 \lt 0. \\ x - 1 \gt 0. \end{cases}$
解$\begin{cases}2x + 3 \gt 0. \\ x - 1 \lt 0. \end{cases}$
得$\begin{cases}x \gt -\frac{3}{2}. \\ x \lt 1.\end{cases}$
即$-\frac{3}{2} \lt x \lt 1$。
$\begin{cases}2x + 3 \lt 0. \\ x - 1 \gt 0.\end{cases}$
得$\begin{cases}x \lt -\frac{3}{2}. \\ x \gt 1.\end{cases}$
此不等式组无解。
所以不等式$\frac{2x + 3}{x - 1} \lt 0$的解集为$-\frac{3}{2} \lt x \lt 1$。