《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. 重心的定义
重心本身是一个物理概念. 力学上指物体各个部分受到的重力作用集中于一点,这一点就是物体的重心.

答案： 重心

2. 如何找重心
(1)一条线段的重心就是这条线段的中点,平行四边形的重心是它的两条对角线的交点,包括菱形、矩形、正方形这些特殊的平行四边形,它们的重心也是它们的对角线的交点.
(2)三角形的三条中线交于一点,这一点就是三角形的重心.
(3)规则的几何图形的重心就是它的几何中心.
(4)不规则的几何图形的重心在几条铅垂线的交点处.

答案：
(1) 中点；对角线
(2) 中线
(3) 几何中心

1. (1)通过悬挂实验,找出图(1)(2)(3)所示的匀质薄板的重心位置.(用点$ P $表示)
(2)通过查资料及(1)中的实验,确定如图(4)(5)(6)所示的平面图形的重心位置.(用点$ P $表示)

(1) 通过悬挂实验确定图(1)(2)(3)匀质薄板的重心位置：
图(1)：分别在三角形的两个顶点悬挂，两次悬线的延长线相交于一点，该点即为重心$P$，对于匀质等边三角形薄板，重心$P$在三条中线的交点处。
图(2)：在长方形的一对对边中点处悬挂，两次悬线的延长线相交点即为重心$P$，对于匀质长方形薄板，重心$P$在其两条对角线的交点处。
图(3)：在平行四边形的一对对顶点处悬挂，两次悬线的延长线相交点即为重心$P$，对于匀质平行四边形薄板，重心$P$在其两条对角线的交点处。
(2) 确定图(4)(5)(6)平面图形的重心位置：
图(4)：等边三角形的重心$P$在其三条中线的交点处。
图(5)：正方形的重心$P$在其两条对角线的交点处。
图(6)：平行四边形的重心$P$在其两条对角线的交点处。

答案：
(1) 通过悬挂实验确定图
(1)
(2)
(3)匀质薄板的重心位置：
图
(1)：分别在三角形的两个顶点悬挂，两次悬线的延长线相交于一点，该点即为重心$P$，对于匀质等边三角形薄板，重心$P$在三条中线的交点处。
图
(2)：在长方形的一对对边中点处悬挂，两次悬线的延长线相交点即为重心$P$，对于匀质长方形薄板，重心$P$在其两条对角线的交点处。
图
(3)：在平行四边形的一对对顶点处悬挂，两次悬线的延长线相交点即为重心$P$，对于匀质平行四边形薄板，重心$P$在其两条对角线的交点处。
(2) 确定图
(4)
(5)
(6)平面图形的重心位置：
图
(4)：等边三角形的重心$P$在其三条中线的交点处。
图
(5)：正方形的重心$P$在其两条对角线的交点处。
图
(6)：平行四边形的重心$P$在其两条对角线的交点处。

2. 有一块如图所示的匀质薄板,通过画线将其分割成两部分,并找出各部分的重心位置(用点$ P_1 和 P_2 $表示),再通过实验,找到整块薄板的重心位置(用点$ P $表示),连接重心$ P_1 $,$ P_2 $得到一条线段,你有什么发现？整块薄板的重心离哪部分的重心更近？约是这条线段的几分之几？请你再计算一下这两部分的面积及总面积,你有什么发现？

答案： 1. 分割薄板为上下两个矩形：上矩形（10cm×10cm）和下矩形（30cm×10cm）。
2. 确定各部分重心：
上矩形重心$P_1$：其中心（两条对角线交点）；
下矩形重心$P_2$：其中心（两条对角线交点）。
3. 实验发现：整块薄板的重心$P$在$P_1P_2$连线上。
4. 位置关系：$P$离$P_2$更近，约是线段$P_1P_2$的$\frac{1}{4}$。
5. 面积计算：
上部分面积$S_1=10×10=100\,cm^2$；
下部分面积$S_2=30×10=300\,cm^2$；
总面积$S=100+300=400\,cm^2$。
6. 面积关系：$S_1:S_2=1:3$，$P$到$P_1$与$P$到$P_2$的距离比为$3:1$（与面积比成反比）。

3. 有如图所示的“L”形的平面图形,将它分割成两部分,找出这两部分的重心,然后作出平分这个图形面积的直线.

答案： 1. 分割：从“L”形内侧直角顶点作竖直线，将图形分为两个矩形。
2. 找重心：分别作两矩形的对角线，交点即为重心G₁、G₂。
3. 作直线：连接G₁、G₂，直线G₁G₂即为平分该图形面积的直线。

4. 若将平面直角坐标系中的组合图形分成$ n $部分,每部分的重心坐标分别为$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,…$$,$(x_n,y_n)$,每部分的面积分别为$ S_1 $,$ S_2 $,…$$,$ S_n $,总面积为$ S $,则该组合图形的重心坐标为$(\frac{S_1x_1 + S_2x_2 + … + S_nx_n}{S},\frac{S_1y_1 + S_2y_2 + … + S_ny_n}{S})$. 请用公式计算如图所示的组合图形的重心坐标.

答案： 分割图形并确定各部分参数
将组合图形分割为两个矩形：
矩形1（左侧竖矩形）：
顶点坐标：$(0,0)$，$(10,0)$，$(10,20)$，$(0,20)$。
面积$S_1=10×20=200$，
重心坐标$(\frac{0+10}{2},\frac{0+20}{2})=(5,10)$。
矩形2（右侧横矩形）：
顶点坐标：$(10,0)$，$(40,0)$，$(40,10)$，$(10,10)$。
面积$S_2=30×10=300$，
重心坐标$(\frac{10+40}{2},\frac{0+10}{2})=(25,5)$。
计算组合图形重心坐标
总面积$S=S_1+S_2=200+300=500$。
x坐标：
$\frac{S_1x_1+S_2x_2}{S}=\frac{200×5+300×25}{500}=\frac{1000+7500}{500}=17$。
y坐标：
$\frac{S_1y_1+S_2y_2}{S}=\frac{200×10+300×5}{500}=\frac{2000+1500}{500}=7$。
结论
组合图形的重心坐标为$(17,7)$。
$(17,7)$