《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. 直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余. 如图所示,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,则 $ \angle A + \angle B = 90^{\circ} $.

2. 直角三角形的判定
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A + \angle B = 90^{\circ} $,则 $ \triangle ABC $ 是直角三角形.

答案： 1. 互余；2. 互余

【例1】如图所示,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AD $ 平分 $ \angle CAB $,$ DE \perp AB $,若 $ \angle BDE = 56^{\circ} $,则 $ \angle DAE $ 的度数为(B)

A.$ 23^{\circ} $
B.$ 28^{\circ} $
C.$ 52^{\circ} $
D.$ 56^{\circ} $

答案： B

应用“直角三角形的两个锐角互余”计算相关角的大小,要比应用三角形的内角和定理简便. 该性质常与“同角(或等角)的余角相等”的性质一起进行相关的计算或证明.

答案： （题目未给出具体计算或证明题，无法得出具体答案，此为性质应用说明）

1. 如图所示,$ a $,$ b $ 是直尺的两边,$ a // b $,把三角板的直角顶点放在直尺的 $ b $ 边上,若 $ \angle 1 = 35^{\circ} $,则 $ \angle 2 $ 的度数是(B)

A.$ 65^{\circ} $
B.$ 55^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 35^{\circ} $

答案： B

2. (跨学科—物理)如图所示,平面镜 $ MN $ 放置在水平地面 $ CD $ 上,墙面 $ PD \perp CD $ 于点 $ D $,一束光线 $ AO $ 照射到镜面 $ MN $ 上,反射光线为 $ OB $,$ \angle AOC = \angle BOD $. 点 $ B $ 在 $ PD $ 上,若 $ \angle AOC = 35^{\circ} $,则 $ \angle OBD $ 的度数为(C)

A.$ 35^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 55^{\circ} $
D.$ 65^{\circ} $

答案： C

3. 如图所示,$ AD \perp BC $,$ BE $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线,$ BE $,$ AD $ 相交于点 $ F $,已知 $ \angle BAD = 44^{\circ} $,则 $ \angle BFD = $67°.

答案： 67°

【例2】有下列条件：① $ \angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3 $；② $ \angle A = \angle B = 2\angle C $；③ $ \angle A + \angle B = \angle C $；④ $ \angle A = \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{3}\angle C $. 其中能确定 $ \triangle ABC $ 为直角三角形的条件有(B)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： B

要证明一个三角形是否为直角三角形,可考虑证明有一个角为直角或者两个角互余. 当已知三个角的数量关系时,可结合三角形的内角和定理列方程求解.

答案： （因题目未给出具体三角形角的关系，无法得出具体答案，此为证明方法总结）

4. 如图所示,$ CD // AB $,$ \angle A = 35^{\circ} $,$ \angle DCB = 55^{\circ} $,则 $ \triangle ABC $ 的形状为(C)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形

答案： C