《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. 下面是四位同学对多项式$a^{3}-9a$分解因式的结果,其中正确的是(B)
A.$a(a^{2}-9)$
B.$a(a-3)(a+3)$
C.$a^{2}(a-\frac{9}{a})$
D.$a(a-3)^{2}$

答案： B

2. 下列因式分解不正确的是(D)
A.$ax^{2}-ay^{2}= a(x+y)(x-y)$
B.$3a^{2}-3c^{2}= 3(a+c)(a-c)$
C.$x^{3}+8x^{2}+16x= x(x+4)^{2}$
D.$-2x^{3}y-4xy^{3}+8x^{2}y^{2}= -2xy(x-2y)^{2}$

答案： D

3. 分解因式：
$12m^{2}n-12mn+3n= $$3n(2m - 1)^{2}$。

答案： $3n(2m - 1)^{2}$。

4. (1)已知$a-b= 1$,则$a^{3}-a^{2}b+b^{2}-2ab$的值为1；
(2)已知$x^{2}-2x-1= 0$,则$3x^{3}-10x^{2}+5x+2027$的值等于2023。

答案： 1；2023

5. 分解因式：
(1)$3a^{2}-3c^{2}$；
(2)$x^{3}y-10x^{2}y+25xy$；
(3)$4x^{2}(a-b)+9y^{2}(b-a)$。

答案：
(1)
$3a^{2}-3c^{2}$
$=3(a^{2}-c^{2})$
$=3(a + c)(a - c)$
(2)
$x^{3}y - 10x^{2}y+25xy$
$=xy(x^{2}-10x + 25)$
$=xy(x - 5)^{2}$
(3)
$4x^{2}(a - b)+9y^{2}(b - a)$
$=4x^{2}(a - b)-9y^{2}(a - b)$
$=(a - b)(4x^{2}-9y^{2})$
$=(a - b)(2x + 3y)(2x - 3y)$

6. 分解因式：
(1)$(x^{2}-4x)^{2}-16$；
(2)$(x^{2}-1)^{2}+6(x^{2}-1)+9$。

答案：
(1)
$\begin{aligned}&(x^{2}-4x)^{2}-16\\=&(x^{2}-4x)^{2}-4^{2}\\=&(x^{2}-4x + 4)(x^{2}-4x - 4)\\=&(x - 2)^{2}(x^{2}-4x - 4)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(x^{2}-1)^{2}+6(x^{2}-1)+9\\=&(x^{2}-1)^{2}+6(x^{2}-1)+3^{2}\\=&(x^{2}-1 + 3)^{2}\\=&(x^{2}+2)^{2}\end{aligned}$

7. 分解因式：
(1)$(x-2)(x-4)+1$；
(2)$x^{4}-8x^{2}+16$。

答案：
(1)
$\begin{aligned}&(x - 2)(x - 4) + 1\\=&x^2 - 4x - 2x + 8 + 1\\=&x^2 - 6x + 9\\=&(x - 3)^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&x^4 - 8x^2 + 16\\=&(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 4 + 4^2\\=&(x^2 - 4)^2\\=&(x^2 - 2^2)^2\\=&(x - 2)^2(x + 2)^2\end{aligned}$

8. 分解因式$x^{2}-4y^{2}-2x+4y$,细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生新的公因式,然后提取公因式就可以完成因式分解了,过程如下：
$x^{2}-4y^{2}-2x+4y= (x+2y)(x-2y)-2(x-2y)= (x-2y)(x+2y-2)$。
上述分解因式的方法叫做分组分解法,请利用这种方法,解答下列问题。
(1)分解因式：$m^{2}-n^{2}+4n-4m$。
(2)分解因式：$a^{2}+6a+9-4b^{2}$
(3)$\triangle ABC的三边a$,$b$,$c满足a^{2}+2b^{2}+c^{2}= 2ab+2bc$,判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由。

答案：
(1) $ m^2 - n^2 + 4n - 4m $
$=(m^2 - n^2) + (-4m + 4n)$
$=(m + n)(m - n) - 4(m - n)$
$=(m - n)(m + n - 4)$
(2) $ a^2 + 6a + 9 - 4b^2 $
$=(a^2 + 6a + 9) - (2b)^2$
$=(a + 3)^2 - (2b)^2$
$=(a + 3 + 2b)(a + 3 - 2b)$
(3) $\triangle ABC$是等边三角形。理由如下：
$\because a^2 + 2b^2 + c^2 = 2ab + 2bc$
$\therefore a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 = 0$
$\therefore (a - b)^2 + (b - c)^2 = 0$
$\because (a - b)^2 \geq 0$，$(b - c)^2 \geq 0$
$\therefore a - b = 0$，$b - c = 0$
$\therefore a = b$，$b = c$
$\therefore a = b = c$
$\therefore \triangle ABC$是等边三角形。