《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

【例1】把下列多项式分解因式：
(1)$2ax^{2}+12axy+18ay^{2}$；
(2)$25a^{2}-100$。

答案：
(1)
首先，从$2ax^{2} + 12axy + 18ay^{2}$中提取公因式$2a$，得到：
$2ax^{2} + 12axy + 18ay^{2} = 2a(x^{2} + 6xy + 9y^{2})$
观察括号内的多项式，它是$x + 3y$的平方，即：
$x^{2} + 6xy + 9y^{2} = (x + 3y)^{2}$
所以，原式可以进一步分解为：
$2a(x^{2} + 6xy + 9y^{2}) = 2a(x + 3y)^{2}$
(2)
对于$25a^{2} - 100$，首先提取公因数$25$，得到：
$25a^{2} - 100 = 25(a^{2} - 4)$
接着，利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，将$a^{2} - 4$分解为$(a + 2)(a - 2)$，所以：
$25(a^{2} - 4) = 25(a + 2)(a - 2)$

因式分解的三步骤

答案： 本题可根据因式分解的三步骤对因式分解方法进行综合运用示例，以下以因式分解$2x^{2} - 2y^{2}$和$x^{3}y - 2x^{2}y + xy$为例进行解答：
示例1：对$2x^{2} - 2y^{2}$因式分解
一提：观察式子$2x^{2} - 2y^{2}$，有公因式$2$，提取公因式$2$可得：$2x^{2} - 2y^{2}=2(x^{2}-y^{2})$。
二套：式子$x^{2}-y^{2}$是两项式，符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a = x$，$b = y$，则$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$。
三检查：$2(x + y)(x - y)$不能再继续分解，分解彻底。
所以$2x^{2} - 2y^{2}=2(x + y)(x - y)$。
示例2：对$x^{3}y - 2x^{2}y + xy$因式分解
一提：观察式子$x^{3}y - 2x^{2}y + xy$，有公因式$xy$，提取公因式$xy$可得：$x^{3}y - 2x^{2}y + xy=xy(x^{2}-2x + 1)$。
二套：式子$x^{2}-2x + 1$是三项式，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a = x$，$b = 1$，则$x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}$。
三检查：$xy(x - 1)^{2}$不能再继续分解，分解彻底。
所以$x^{3}y - 2x^{2}y + xy=xy(x - 1)^{2}$。

1. 下列因式分解正确的是(B)
A.$x^{2}-xy+x= x(x-y)$
B.$a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}= a(a+b)^{2}$
C.$x^{2}-2x-1= (x-1)^{2}$
D.$ax^{2}-9= a(x+3)(a-3)$

答案： B

2. (2024·成都)分解因式：
$2x^{2}y-18y= $$2y(x + 3)(x - 3)$。

答案： $2y(x + 3)(x - 3)$

3. (2024·绵阳)分解因式：
$2x^{2}+8x+8= $$2(x + 2)^{2}$。

答案： $2(x + 2)^{2}$

4. 分解因式：
(1)$12x^{2}-3y^{2}$；
(2)$-3a^{3}+6a^{2}b-3ab^{2}$；
(3)$4x^{2}y-4xy^{2}-x^{3}$。

答案：
(1)
首先提取公因式$3$，得到：
$12x^{2} - 3y^{2} = 3(4x^{2} - y^{2})$
接着应用平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，得到：
$3(4x^{2} - y^{2}) = 3(2x + y)(2x - y)$
(2)
首先提取公因式$-3a$，得到：
$-3a^{3} + 6a^{2}b - 3ab^{2} = -3a(a^{2} - 2ab + b^{2})$
接着应用完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$，得到：
$-3a(a^{2} - 2ab + b^{2}) = -3a(a - b)^{2}$
(3)
首先提取公因式$-x$，得到：
$4x^{2}y - 4xy^{2} - x^{3} = -x( -4xy +4y^{2} + x^{2})$
接着对括号内应用完全平方公式形式，将其整理为：
$-x(x^{2} - 4xy + 4y^{2}) = -x(x - 2y)^{2}$

【例2】分解因式：
(1)$(x^{2}+1)^{2}-4x^{2}$；
(2)$9m^{2}-6mn+n^{2}-1$。

答案：
(1) $(x^{2}+1)^{2}-4x^{2}$
$=(x^{2}+1)^{2}-(2x)^{2}$
$=(x^{2}+1 + 2x)(x^{2}+1 - 2x)$
$=(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}$
(2) $9m^{2}-6mn + n^{2}-1$
$=(3m - n)^{2}-1^{2}$
$=(3m - n + 1)(3m - n - 1)$

5. 分解因式：
(1)$x^{2}-4xy+4y^{2}-9z^{2}$；
(2)$(x^{2}+y^{2})^{2}-(2xy)^{2}$。

答案： 答题卡：
(1)
解：
$x^{2}-4xy+4y^{2}-9z^{2}$
$=(x-2y)^{2}-(3z)^{2}$
$=(x-2y+3z)(x-2y-3z)$
(2)
解：
$(x^{2}+y^{2})^{2}-(2xy)^{2}$
$=(x^{2}+y^{2}+2xy)(x^{2}+y^{2}-2xy)$
$=(x+y)^{2}(x-y)^{2}$