《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

1. 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
符号语言：如图所示,∵点$P在线段AB$的垂直平分线上,∴$PA = PB$.

2. 线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
符号语言：如图所示,∵$PA = PB$,
∴点$P在线段AB$的垂直平分线上.
3. 逆命题与逆定理
两个命题的题设、结论正好相反,这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个叫作它的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理. 其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.

答案： 1. 距离相等
2. 距离相等

【例 1】(2025·南充)如图所示,在$\triangle ABC$中,$BC边的垂直平分线交AC边于点D$,连接$BD$. 若$CE = 4$,$\triangle BDC的周长为18$,求$BD$的长.

答案： 因为$DE$是$BC$边的垂直平分线，所以$BD = CD$，$BE=CE = 4$，则$BC = 8$。
因为$\triangle BDC$的周长为$18$，即$BD + DC+BC = 18$。
把$BC = 8$，$BD = CD$代入上式可得：$2BD + 8 = 18$。
移项可得$2BD=10$，解得$BD = 5$。
故$BD$的长为$5$。

线段的垂直平分线必须同时满足两个条件：
(1)经过这条线段的中点；
(2)垂直于这条线段.

答案： 题目要求阐述线段垂直平分线必须同时满足的两个条件，根据人教版数学八年级上册相关内容，答案如下：
(1)经过这条线段的中点；
(2)垂直于这条线段.

1. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB的垂直平分线DE与边AB$,$AC分别交于点D$,$E$. 已知$\triangle ABC与\triangle BCE的周长分别为22\mathrm{cm}和14\mathrm{cm}$,则$BD$的长为(A)

A.$4\mathrm{cm}$
B.$6\mathrm{cm}$
C.$8\mathrm{cm}$
D.$10\mathrm{cm}$

答案： A

2. 如图所示,某公园有三角形草坪$(\triangle ABC)$,现准备在该三角形草坪内种一棵树,使得该树到$\triangle ABC$三个顶点的距离相等,则该树应种在(A)

A.三条边的垂直平分线的交点
B.三个角的角平分线的交点
C.三角形三条高的交点
D.三角形三条中线的交点

答案： A