《2025年新编基础训练八年级数学上册人教版》

5. 如图①所示,已知$OA = 2$,$OB = 4$,以点$A$为直角顶点,$AB为腰在第三象限作等腰直角三角形ABC$。
(1)求点$C$的坐标；
(2)如图②所示,$P为y$轴负半轴上的一个动点,当点$P沿y$轴负半轴向下运动时,以点$P$为直角顶点,$PA为腰作等腰直角三角形APD$,过点$D作DE \perp x轴于点E$,求$OP - DE$的值。

答案：
(1)过点$ C $作$ CE \perp x $轴于点$ E $，则$ \angle CEA = 90° $。
$\because \angle BAC = 90°$，$\therefore \angle BAO + \angle CAE = 90°$。
在$ Rt\triangle AOB $中，$\angle BAO + \angle ABO = 90°$，$\therefore \angle CAE = \angle ABO$。
在$ \triangle AOB $和$ \triangle CEA $中，
$\begin{cases} \angle AOB = \angle CEA = 90° \\\angle ABO = \angle CAE \\AB = AC \end{cases}$，
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle CEA (AAS)$。
$\therefore AO = CE$，$ OB = AE $。
$\because OA = 2$，$ OB = 4 $，$ A(-2,0) $，$\therefore CE = AO = 2$，$ AE = OB = 4 $。
$\because A(-2,0)$，$ AE = 4 $，$\therefore OE = OA + AE = 2 + 4 = 6$，$\therefore C(-6,-2)$。
(2)过点$ D $作$ DF \perp y $轴于点$ F $，则$ \angle DFP = 90° $。
$\because \angle APD = 90°$，$\therefore \angle APO + \angle DPF = 90°$。
在$ Rt\triangle AOP $中，$\angle APO + \angle OAP = 90°$，$\therefore \angle OAP = \angle DPF$。
在$ \triangle AOP $和$ \triangle PFD $中，
$\begin{cases} \angle AOP = \angle PFD = 90° \\\angle OAP = \angle FPD \\PA = PD \end{cases}$，
$\therefore \triangle AOP \cong \triangle PFD (AAS)$。
$\therefore AO = PF$，$ OP = DF $。
$\because OA = 2$，$\therefore PF = 2$。设$ P(0,-p)(p ＞ 0) $，则$ OP = p $，$ DF = p $，$ D(p,q) $。
$\because PF = |-p - q| = 2$（$ F $在$ P $下方，$ q ＜ -p $），$\therefore -p - q = 2 \Rightarrow q = -p - 2$。
$ DE \perp x $轴，$ DE = |q| = p + 2 $，$\therefore OP - DE = p - (p + 2) = 2$。
(1)$ (-6,-2) $
(2)$ 2 $

6. 如图所示,四边形$ABCD$中,$AD // BC$,$\angle B = 90^{\circ}$,$AD = 6$,$BC = 7$,将边$DC绕点D沿逆时针方向旋转90^{\circ}至DE$,连接$AE$,求$\triangle ADE$的面积。

答案： $3$