《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例 4] 已知函数 $ f ( x ) = x ^ { 2 } + m x - 2 m $($ m \in \mathbf { R } $),若对于任意 $ x \in [ - 1, 1 ] $,都有 $ f ( x ) ＜ 0 $ 成立,求实数 $ m $ 的取值范围.
思维启迪 根据二次函数的性质得出,只需要区间 $ [ - 1, 1 ] $ 端点的函数值小于 0,就可以使得 $ f ( x ) ＜ 0 $ 成立.
解：因为对于任意 $ x \in [ - 1, 1 ] $,都有 $ f ( x ) ＜ 0 $ 成立,所以 $ \left\{ \begin{array} { l } { f ( - 1 ) ＜ 0, } \\ { f ( 1 ) ＜ 0, } \end{array} \right. $ 即 $ \left\{ \begin{array} { l } { 1 - 3 m ＜ 0, } \\ { 1 - m ＜ 0, } \end{array} \right. $
解得 $ m ＞ 1 $.
所以实数 $ m $ 的取值范围是 $ ( 1, + \infty ) $.
[反思归纳] 含参数的二次函数的恒成立问题,一般转化为二次函数的图象问题,根据图象的直观性,列出相应的不等式组,解不等式组即可.

答案： 【解析】：本题考查二次函数在给定区间上的恒成立问题。对于二次函数$f(x)=x^2 + mx - 2m$，要使其在区间$[-1,1]$上对于任意$x$都有$f(x) ＜ 0$成立。根据二次函数的性质，其图象开口向上，所以只需区间端点处的函数值小于$0$，即可保证整个区间内函数值都小于$0$。
【答案】：解：因为对于任意$x \in [-1, 1]$，都有$f(x) ＜ 0$成立，所以$\begin{cases} f(-1) ＜ 0 \\ f(1) ＜ 0 \end{cases}$。
计算$f(-1)$：$f(-1)=(-1)^2 + m×(-1) - 2m = 1 - m - 2m = 1 - 3m$，则$1 - 3m ＜ 0$。
计算$f(1)$：$f(1)=1^2 + m×1 - 2m = 1 + m - 2m = 1 - m$，则$1 - m ＜ 0$。
解不等式组$\begin{cases} 1 - 3m ＜ 0 \\ 1 - m ＜ 0 \end{cases}$：
由$1 - 3m ＜ 0$得$3m ＞ 1$，即$m ＞ \frac{1}{3}$；
由$1 - m ＜ 0$得$m ＞ 1$。
综合两个不等式的解，取交集得$m ＞ 1$。
所以实数$m$的取值范围是$(1, +\infty)$。

1.(对应题型一)作出函数 $ f ( x ) = 2 x ^ { 2 } - 4 x - 3 $,$ x \in ( 0, 3 ] $ 的图象,并求出 $ f ( x ) $ 的最大值和最小值.

答案： 【解析】：本题考查二次函数的图象绘制及在给定区间内的最值求解。首先，将二次函数化为顶点式以确定对称轴和顶点坐标，再根据开口方向及给定区间判断单调性，从而求出最大值和最小值。
【答案】：解：
1. 将函数化为顶点式：
$\begin{aligned}f(x)&=2x^2 - 4x - 3\\&=2(x^2 - 2x) - 3\\&=2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 3\\&=2[(x - 1)^2 - 1] - 3\\&=2(x - 1)^2 - 2 - 3\\&=2(x - 1)^2 - 5\end{aligned}$
所以，函数的对称轴为直线 $x = 1$，顶点坐标为 $(1, -5)$，抛物线开口向上。
2. 确定区间内的单调性：
当 $x \in (0, 1]$ 时，函数单调递减；
当 $x \in [1, 3]$ 时，函数单调递增。
3. 求最小值：
因为函数在 $x = 1$ 处取得最小值，所以 $f(1) = -5$。
4. 求最大值：
计算区间端点值：$f(0) = 2×0^2 - 4×0 - 3 = -3$，$f(3) = 2×3^2 - 4×3 - 3 = 2×9 - 12 - 3 = 18 - 15 = 3$。
比较可得，$f(3) = 3$ 为最大值。
5. 绘制函数图象：
列表：
| $x$ | $0$ | $1$ | $3$ |
|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-3$ | $-5$ | $3$ |
描点、连线，图象为抛物线在区间 $(0, 3]$ 上的部分（图略）。
综上，$f(x)$ 的最大值为 $3$，最小值为 $-5$。
【答案】：最大值为 $3$，最小值为 $-5$

2.(对应题型二)已知函数 $ f ( x ) = x ^ { 2 } + b x + c $ 对任意实数 $ x $ 都有 $ f ( 2 + x ) = f ( 2 - x ) $,比较 $ f ( - 3 ) $,$ f ( 2 ) $,$ f ( 3 ) $ 的大小.

答案： 【解析】：本题考查二次函数的性质。由条件$f(2 + x)=f(2 - x)$可知，二次函数$f(x)=x^{2}+bx + c$的对称轴为直线$x = 2$。因为二次项系数$1\gt0$，所以抛物线开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大。
接下来计算各点到对称轴$x = 2$的距离：$|-3 - 2|=5$，$|2 - 2|=0$，$|3 - 2|=1$。距离对称轴越近，函数值越小，所以$f(2)\lt f(3)\lt f(-3)$。
【答案】：$f(2)\lt f(3)\lt f(-3)$

3.(对应题型三)已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } + 2 a x + 1 $,若当 $ x \in [ - 1, 2 ] $ 时,$ y $ 的最大值为 4,求实数 $ a $ 的值.

答案： 【解析】：本题考查二次函数在给定区间上的最值问题。二次函数$y=x^2 + 2ax + 1$的对称轴为$x=-a$，开口向上。需要根据对称轴与区间$[-1,2]$的位置关系分情况讨论，分别求出每种情况下的最大值，再令最大值等于4，解出$a$的值并检验是否符合每种情况的条件。
【答案】：解：二次函数$y = x^2 + 2ax + 1$的对称轴为$x=-a$，开口向上。
当$-a \leq \frac{-1 + 2}{2} = \frac{1}{2}$，即$a \geq -\frac{1}{2}$时，
函数在$x=2$处取得最大值，
$y_{max}=2^2 + 2a×2 + 1 = 4 + 4a + 1 = 5 + 4a$，
令$5 + 4a = 4$，得$4a=-1$，$a=-\frac{1}{4}$，符合$a \geq -\frac{1}{2}$。
当$-a ＞ \frac{1}{2}$，即$a ＜ -\frac{1}{2}$时，
函数在$x=-1$处取得最大值，
$y_{max}=(-1)^2 + 2a×(-1) + 1 = 1 - 2a + 1 = 2 - 2a$，
令$2 - 2a = 4$，得$-2a=2$，$a=-1$，符合$a ＜ -\frac{1}{2}$。
综上，$a$的值为$-\frac{1}{4}$或$-1$。
$a=-\frac{1}{4}$或$a=-1$