《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例 2] 已知函数 $ f ( x ) = a x ^ { 2 } + 2 ( a - 1 ) x + 2 $.
(1)若 $ f ( x ) $ 的单调递减区间为 $ ( - \infty, 4 ) $,求实数 $ a $ 的值；
(2)若 $ f ( x ) $ 在区间 $ ( - \infty, 4 ) $ 上单调递减,求实数 $ a $ 的取值范围.
思维启迪 (1)根据二次函数的对称轴为 $ x = 4 $ 即可求解.(2)分类讨论二次项系数 $ a $ 是否为 0,当 $ a = 0 $ 时,函数为一次函数,满足题意；当 $ a \neq 0 $ 时,只需开口朝上,对称轴 $ \frac { 1 - a } { a } \geq 4 $ 即可.
解：(1)由题意知 $ \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 - a } { a } = 4, } \\ { a ＞ 0, } \end{array} \right. $ 解得 $ a = \frac { 1 } { 5 } $.
(2)当 $ a = 0 $ 时,$ f ( x ) = - 2 x + 2 $,在 $ ( - \infty, 4 ) $ 上单调递减,$ a = 0 $ 满足题意；
当 $ a \neq 0 $ 时,$ \left\{ \begin{array} { l } { a ＞ 0, } \\ { \frac { 1 - a } { a } \geq 4, } \end{array} \right. $ 解得 $ 0 ＜ a \leq \frac { 1 } { 5 } $.
综上,实数 $ a $ 的取值范围是 $ \left[ 0, \frac { 1 } { 5 } \right] $.
[反思归纳](1)对于函数 $ f ( x ) = a x ^ { 2 } + b x + c $,只有当 $ a \neq 0 $ 时,该函数才是二次函数. 若题干中没有指明 $ a \neq 0 $ 这一条件,要对 $ a = 0 $ 和 $ a \neq 0 $ 分类讨论.
(2)二次函数的单调性由两个要素确定：①二次项系数的正负(当 $ a ＞ 0 $ 时,抛物线的开口向上；当 $ a ＜ 0 $ 时,抛物线的开口向下)；②对称轴 $ x = - \frac { b } { 2 a } $ 的位置.
(3)$ f ( x ) $ 在区间 $ I $ 上单调递减(增)与 $ f ( x ) $ 的单调递减(增)区间是 $ I $ 是不同的,前者是单调区间的子集.

答案： 【解析】：本题考查二次函数的单调性。对于二次函数$f(x)=ax^2 + bx + c$，其单调性由二次项系数$a$的正负和对称轴$x=-\frac{b}{2a}$的位置共同决定。当$a\gt0$时，函数开口向上，在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增；当$a\lt0$时，函数开口向下，在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。需要注意当$a=0$时，函数为一次函数，其单调性由一次项系数决定。
(1) 已知$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty, 4)$，这意味着该区间就是函数的整个单调递减区间，所以函数必为二次函数（$a\neq0$），且开口向上（$a\gt0$），对称轴为$x=4$。根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$b=2(a - 1)$，可列出方程求解$a$。
(2) 已知$f(x)$在区间$(-\infty, 4)$上单调递减，此时该区间是函数单调递减区间的子集。需要分情况讨论：当$a=0$时，函数为一次函数，判断其是否在$(-\infty, 4)$上单调递减；当$a\neq0$时，函数为二次函数，此时需满足开口向上（$a\gt0$）且对称轴在区间$(-\infty, 4]$的右侧（即对称轴$x\geq4$），从而确定$a$的取值范围。
【答案】：
(1) 解：因为函数$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty, 4)$，所以函数为二次函数，且$a\gt0$，对称轴为$x=4$。
函数$f(x)=ax^2 + 2(a - 1)x + 2$的对称轴为$x=-\frac{2(a - 1)}{2a}=-\frac{a - 1}{a}=\frac{1 - a}{a}$。
则有$\begin{cases}\frac{1 - a}{a}=4 \\ a\gt0\end{cases}$
由$\frac{1 - a}{a}=4$，得$1 - a = 4a$，$5a = 1$，解得$a=\frac{1}{5}$。
经检验，$a=\frac{1}{5}\gt0$，符合题意。所以$a=\frac{1}{5}$。
(2) 解：当$a=0$时，$f(x)=-2x + 2$，这是一次函数，一次项系数$-2\lt0$，所以函数在$R$上单调递减，因此在区间$(-\infty, 4)$上也单调递减，故$a=0$满足题意。
当$a\neq0$时，函数为二次函数，要使$f(x)$在区间$(-\infty, 4)$上单调递减，需满足$\begin{cases}a\gt0 \\ \frac{1 - a}{a}\geq4\end{cases}$
由$\frac{1 - a}{a}\geq4$，得$1 - a\geq4a$（因为$a\gt0$，不等号方向不变），$1\geq5a$，解得$a\leq\frac{1}{5}$。
又因为$a\gt0$，所以$0\lt a\leq\frac{1}{5}$。
综上，实数$a$的取值范围是$0\leq a\leq\frac{1}{5}$，即$\left[0, \frac{1}{5}\right]$。

[例 3] 求函数 $ f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 m x + 2 $,$ x \in [ - 2, 2 ] $ 的最小值.
思维启迪 该二次函数的图象(抛物线)开口向上,求出其对称轴,讨论对称轴与区间 $ [ - 2, 2 ] $ 的位置关系：(1)在 $ [ - 2, 2 ] $ 的左边；(2)在 $ [ - 2, 2 ] $ 的右边；(3)在 $ [ - 2, 2 ] $ 内三种情况,分别求出最小值.
解：$ f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 m x + 2 = ( x - m ) ^ { 2 } + 2 - m ^ { 2 } $ 图象的对称轴为直线 $ x = m $,开口向上.
①若 $ m \leq - 2 $,$ y = x ^ { 2 } - 2 m x + 2 $ 在 $ [ - 2, 2 ] $ 上单调递增,所以当 $ x = - 2 $ 时,$ f ( x ) $ 取得最小值,$ f ( x ) _ { \min } = ( - 2 ) ^ { 2 } - 2 m × ( - 2 ) + 2 = 4 m + 6 $；
②若 $ - 2 ＜ m ＜ 2 $,则当 $ x = m $ 时,$ f ( x ) $ 取得最小值,$ f ( x ) _ { \min } = 2 - m ^ { 2 } $；
③若 $ m \geq 2 $,$ y = x ^ { 2 } - 2 m x + 2 $ 在 $ [ - 2, 2 ] $ 上单调递减,所以当 $ x = 2 $ 时,$ f ( x ) $ 取得最小值,$ f ( x ) _ { \min } = 2 ^ { 2 } - 2 m × 2 + 2 = 6 - 4 m $.
综上,$ f ( x ) $ 的最小值为
$ f ( x ) _ { \min } = \left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 6, m \leq - 2, } \\ { 2 - m ^ { 2 }, - 2 ＜ m ＜ 2, } \\ { 6 - 4 m, m \geq 2. } \end{array} \right. $
[反思归纳] 二次函数的最值一般都要根据抛物线的开口方向和对称轴的位置来确定,如果对称轴和给定区间的位置关系不确定,则要把对称轴与所给区间的位置分类讨论：(1)对称轴在区间的左侧；(2)对称轴在区间内部；(3)对称轴在区间的右侧.

答案： 【解析】：本题考查二次函数在给定区间上的最小值问题。二次函数$f(x)=x^2 - 2mx + 2$的图象开口向上，对称轴为直线$x = m$。由于对称轴与区间$[-2, 2]$的位置关系不确定，所以需要分三种情况讨论：对称轴在区间左侧、对称轴在区间内、对称轴在区间右侧，然后分别求出每种情况下的最小值。
【答案】：解：$f(x)=x^2 - 2mx + 2=(x - m)^2 + 2 - m^2$，其图象开口向上，对称轴为直线$x = m$。
①若$m \leq -2$，函数在$[-2, 2]$上单调递增，
当$x = -2$时，$f(x)$取得最小值，
$f(x)_{\min}=(-2)^2 - 2m×(-2) + 2 = 4 + 4m + 2 = 4m + 6$；
②若$-2 ＜ m ＜ 2$，当$x = m$时，$f(x)$取得最小值，
$f(x)_{\min}=2 - m^2$；
③若$m \geq 2$，函数在$[-2, 2]$上单调递减，
当$x = 2$时，$f(x)$取得最小值，
$f(x)_{\min}=2^2 - 2m×2 + 2 = 4 - 4m + 2 = 6 - 4m$。
综上，$f(x)$的最小值为
$f(x)_{\min}=\begin{cases}4m + 6, & m \leq -2, \\2 - m^2, & -2 ＜ m ＜ 2, \\6 - 4m, & m \geq 2.\end{cases}$