《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例3] 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数,当 $ x ＞ 0 $ 时,$ f(x) = x^2 - 2x - 3 $。

(1) 求 $ f(f(1)) $ 的值；
(2) 求函数 $ f(x) $ 的解析式；
(3) 把函数图象补充完整,并写出函数 $ f(x) $ 的单调递增区间。
思维启迪 (1) 先求出 $ f(1) = -4 $,再根据 $ f(-4) = -f(4) $ 求出 $ f(f(1)) $ 的值。
(2) 当 $ x ＜ 0 $ 时,$ -x ＞ 0 $,则 $ f(x) = -f(-x) $,将 $ -x $ 代入 $ x ＞ 0 $ 时的解析式,可求得 $ x ＜ 0 $ 时的解析式；再求出 $ f(0) $,可得 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上的解析式。
(3) 根据对称性,作出 $ x ＜ 0 $ 时函数的图象,根据图象可写出单调递增区间。
解：(1) 因为 $ f(x) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数,所以 $ f(-x) = -f(x) $。因为 $ f(1) = 1 - 2 - 3 = -4 $,所以 $ f(f(1)) = f(-4) = -f(4) = -(16 - 8 - 3) = -5 $。
(2) 当 $ x ＜ 0 $ 时,$ -x ＞ 0 $,则 $ f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) - 3 = x^2 + 2x - 3 $,所以 $ f(x) = -f(-x) = -x^2 - 2x + 3 $。又因为 $ f(0) = 0 $,所以
$f(x) = \begin{cases}x^2 - 2x - 3, & x ＞ 0, \\0, & x = 0, \\-x^2 - 2x + 3, & x ＜ 0.\end{cases} $
(3) $ f(x) $ 的图象如图所示。

结合图象可知,$ f(x) $ 的单调递增区间为 $ (-\infty, -1] $ 和 $ [1, +\infty) $。
[反思归纳] 利用函数奇偶性求解析式的方法：
(1) “求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,$ x $ 就应设在哪个区间上；
(2) 要利用已知区间的解析式进行代入；
(3) 利用 $ f(x) $ 的奇偶性写出 $ -f(x) $ 或 $ f(-x) $,从而解出 $ f(x) $。

答案： 【解析】：本题考查函数的奇偶性、分段函数解析式的求解以及函数单调性的判断。
(1) 先根据已知的$x＞0$时的解析式求出$f(1)$，再利用奇函数的性质$f(-x)=-f(x)$求出$f(f(1))$；
(2) 对于$x＜0$的情况，通过$-x＞0$，利用已知解析式和奇函数性质求出$x＜0$时的解析式，再结合奇函数在原点处的函数值为$0$得到完整解析式；
(3) 根据对称性补全函数图象，观察图象得出单调递增区间。
【答案】：
(1) 因为$f(x)$是$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$。
因为$f(1)=1^{2}-2×1 - 3=1 - 2 - 3=-4$，
所以$f(f(1))=f(-4)=-f(4)$。
又因为$f(4)=4^{2}-2×4 - 3=16 - 8 - 3=5$，
所以$f(f(1))=-5$。
(2) 当$x＜0$时，$-x＞0$，则$f(-x)=(-x)^{2}-2(-x)-3=x^{2}+2x - 3$。
因为$f(x)$是奇函数，所以$f(x)=-f(-x)=-(x^{2}+2x - 3)=-x^{2}-2x + 3$。
又因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$。
因此，函数$f(x)$的解析式为$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x - 3, & x＞0 \\0, & x=0 \\-x^{2}-2x + 3, & x＜0\end{cases}$。
(3) 图略。
结合图象可知，$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,-1]$和$[1,+\infty)$。

[例4] 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ (-1, 1) $ 上的奇函数,且在 $ [0, 1) $ 上单调递减。若 $ f(1 + a) + f(1 - a^2) ＜ 0 $,求实数 $ a $ 的取值范围。
思维启迪 将 $ f(1 + a) + f(1 - a^2) ＜ 0 $,转化为 $ f(1 + a) ＜ f(a^2 - 1) $,又 $ f(x) $ 在 $ (-1, 1) $ 上单调递减,利用单调性的定义求解。
解：因为 $ f(1 + a) + f(1 - a^2) ＜ 0 $,所以 $ f(1 + a) ＜ -f(1 - a^2) $。
因为 $ f(x) $ 是定义在 $ (-1, 1) $ 上的奇函数,所以 $ f(1 + a) ＜ f(a^2 - 1) $。
因为 $ f(x) $ 在 $ [0, 1) $ 上单调递减,所以 $ f(x) $ 在 $ (-1, 1) $ 上单调递减,
所以 $ \begin{cases} -1 ＜ 1 + a ＜ 1, \\ -1 ＜ a^2 - 1 ＜ 1, \\ 1 + a ＞ a^2 - 1 \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} -2 ＜ a ＜ 0, \\ 0 ＜ a^2 ＜ 2, \\ -1 ＜ a ＜ 2 \end{cases} $,解得 $ -1 ＜ a ＜ 0 $,
所以实数 $ a $ 的取值范围是 $ (-1, 0) $。
[反思归纳] 解决不等式问题时先把不等式移项,利用函数的奇偶性,把已知不等式转化成 $ f(x_1) ＞ f(x_2) $ 或 $ f(x_1) ＜ f(x_2) $ 的形式,再根据函数的单调性,脱去对应法则“$ f $”,得到关于自变量的不等式(组),要注意函数定义域对参数的影响。

答案： 【解析】：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用。首先利用奇函数的性质将不等式$f(1 + a) + f(1 - a^2) ＜ 0$转化为$f(1 + a) ＜ f(a^2 - 1)$，再根据函数在$(-1,1)$上单调递减的性质，得到关于$a$的不等式组，同时要考虑函数的定义域对$a$的限制。
【答案】：解：因为$f(1 + a) + f(1 - a^2) ＜ 0$，
所以$f(1 + a) ＜ -f(1 - a^2)$。
因为$f(x)$是定义在$(-1,1)$上的奇函数，
所以$-f(1 - a^2)=f(a^2 - 1)$，即$f(1 + a) ＜ f(a^2 - 1)$。
因为$f(x)$在$[0,1)$上单调递减，且奇函数在对称区间上单调性相同，
所以$f(x)$在$(-1,1)$上单调递减。
所以可得不等式组：
$\begin{cases}-1 ＜ 1 + a ＜ 1 \\ -1 ＜ a^2 - 1 ＜ 1 \\ 1 + a ＞ a^2 - 1\end{cases}$
解第一个不等式：$-1 ＜ 1 + a ＜ 1$，
得$-2 ＜ a ＜ 0$。
解第二个不等式：$-1 ＜ a^2 - 1 ＜ 1$，
即$0 ＜ a^2 ＜ 2$，
得$-\sqrt{2} ＜ a ＜ 0$或$0 ＜ a ＜ \sqrt{2}$。
解第三个不等式：$1 + a ＞ a^2 - 1$，
移项得$a^2 - a - 2 ＜ 0$，
因式分解得$(a - 2)(a + 1) ＜ 0$，
得$-1 ＜ a ＜ 2$。
综合以上三个不等式的解集，取交集得$-1 ＜ a ＜ 0$。
所以实数$a$的取值范围是$(-1,0)$。