《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

2. (对应题型二)已知关于$x的一元二次方程3x^2 - 2x + k = 0$,根据下列条件,分别求$k$的取值范围。
(1)方程有两个不相等的实数根；
(2)方程有两个相等的实数根；
(3)方程有实数根；
(4)方程无实数根。

答案： 【解析】：本题考查一元二次方程根的判别式。对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，其判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta \geq 0$时，方程有实数根；当$\Delta ＜ 0$时，方程无实数根。已知方程$3x^2 - 2x + k = 0$，其中$a = 3$，$b = -2$，$c = k$，先计算判别式$\Delta = (-2)^2 - 4 × 3 × k = 4 - 12k$，再根据不同条件列出关于$k$的不等式或等式求解。
【答案】：
(1)解：$\Delta = (-2)^2 - 4 × 3 × k = 4 - 12k$
∵方程有两个不相等的实数根
∴$\Delta ＞ 0$
即$4 - 12k ＞ 0$
解得$k ＜ \frac{1}{3}$
(2)解：
∵方程有两个相等的实数根
∴$\Delta = 0$
即$4 - 12k = 0$
解得$k = \frac{1}{3}$
(3)解：
∵方程有实数根
∴$\Delta \geq 0$
即$4 - 12k \geq 0$
解得$k \leq \frac{1}{3}$
(4)解：
∵方程无实数根
∴$\Delta ＜ 0$
即$4 - 12k ＜ 0$
解得$k ＞ \frac{1}{3}$

3. (对应题型三)已知$x_1,x_2是方程x^2 + 2x - 1 = 0$的两个根,试求下列各式的值。
(1)$x_1^2 + x_2^2$；
(2)$|x_1 - x_2|$。

答案： 【解析】：本题考查一元二次方程根与系数的关系及代数式的变形。对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
（1）$x_1^2 + x_2^2$可变形为$(x_1 + x_2)^2-2x_1x_2$，先根据方程求出$x_1 + x_2$和$x_1x_2$的值，再代入计算。
（2）$|x_1 - x_2|$可变形为$\sqrt{(x_1 - x_2)^2}=\sqrt{(x_1 + x_2)^2-4x_1x_2}$，同样利用根与系数的关系求出相关值后代入。
【答案】：（1）
∵$x_1,x_2$是方程$x^2 + 2x - 1 = 0$的两个根
∴$x_1 + x_2=-2$，$x_1x_2=-1$
∵$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2-2x_1x_2$
∴$x_1^2 + x_2^2=(-2)^2-2×(-1)$
=4 + 2
=6
（2）
∵$|x_1 - x_2|=\sqrt{(x_1 - x_2)^2}=\sqrt{(x_1 + x_2)^2-4x_1x_2}$
∴$|x_1 - x_2|=\sqrt{(-2)^2-4×(-1)}$
=$\sqrt{4 + 4}$
=$\sqrt{8}$
=2$\sqrt{2}$

4. (对应题型四)已知关于$x的方程x^2 + 2(m - 2)x + m^2 + 4 = 0$有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求实数$m$的值。

答案： 【解析】：本题考查一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式。首先，因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta \geq 0$，可求出$m$的取值范围。设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系，可得$x_1 + x_2 = -2(m - 2)$，$x_1x_2 = m^2 + 4$。题目中提到两个实数根的平方和比两个根的积大21，即$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 21$，而$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，将其代入可得到关于$m$的方程，解方程后结合前面求出的$m$的取值范围，确定$m$的值。
【答案】：解：对于方程$x^2 + 2(m - 2)x + m^2 + 4 = 0$，
因为方程有两个实数根，
所以$\Delta = [2(m - 2)]^2 - 4×1×(m^2 + 4) \geq 0$，
即$4(m^2 - 4m + 4) - 4m^2 - 16 \geq 0$，
$4m^2 - 16m + 16 - 4m^2 - 16 \geq 0$，
$-16m \geq 0$，
解得$m \leq 0$。
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，
由根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = -2(m - 2)$，$x_1x_2 = m^2 + 4$。
因为两个实数根的平方和比两个根的积大21，
所以$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 21$，
又因为$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
所以$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - x_1x_2 = 21$，
即$(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 21$。
将$x_1 + x_2 = -2(m - 2)$，$x_1x_2 = m^2 + 4$代入上式，
得$[-2(m - 2)]^2 - 3(m^2 + 4) = 21$，
$4(m - 2)^2 - 3m^2 - 12 = 21$，
$4(m^2 - 4m + 4) - 3m^2 - 12 - 21 = 0$，
$4m^2 - 16m + 16 - 3m^2 - 33 = 0$，
$m^2 - 16m - 17 = 0$，
$(m - 17)(m + 1) = 0$，
解得$m_1 = 17$，$m_2 = -1$。
又因为$m \leq 0$，
所以$m = -1$。
$x_1$、$x_2$为方程的根，综上，$m = -1$。