《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

2.(对应题型二)(1)已知$a ＞ b ＞ 0$,$c ＜ d ＜ 0$,求证：$\frac{b}{a - c} ＜ \frac{a}{b - d}$；
(2)已知$bc - ad \geq 0$,$bd ＞ 0$,求证：$\frac{a + b}{b} \leq \frac{c + d}{d}$。

答案： 【解析】：
(1)要证明$\frac{b}{a - c} ＜ \frac{a}{b - d}$，已知$a＞b＞0$，$c＜d＜0$。先根据负数性质可得$-c＞-d＞0$，再结合$a＞b＞0$，利用不等式加法性质得到$a - c＞b - d＞0$，取倒数后不等号方向改变，即$\frac{1}{a - c}＜\frac{1}{b - d}$，最后两边乘正数$ab$，不等号方向不变，整理可得结论。
(2)要证明$\frac{a + b}{b} \leq \frac{c + d}{d}$，先将不等式左边变形为$\frac{a}{b}+1$，右边变形为$\frac{c}{d}+1$，只需证$\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$。由$bc - ad \geq 0$得$bc\geq ad$，因为$bd＞0$，两边同除以$bd$不等号方向不变，即可得$\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$，进而得证。
【答案】：证明：
(1)
∵$c＜d＜0$
∴$-c＞-d＞0$
∵$a＞b＞0$
∴$a - c＞b - d＞0$
∴$\frac{1}{a - c}＜\frac{1}{b - d}$
∵$a＞b＞0$
∴$ab＞0$
∴$\frac{ab}{a - c}＜\frac{ab}{b - d}$
∴$\frac{b}{a - c}＜\frac{a}{b - d}$
(2)
∵$bc - ad \geq 0$
∴$bc\geq ad$
∵$bd＞0$
∴$\frac{bc}{bd}\geq\frac{ad}{bd}$
即$\frac{c}{d}\geq\frac{a}{b}$
∴$\frac{c}{d}+1\geq\frac{a}{b}+1$
∴$\frac{c + d}{d}\geq\frac{a + b}{b}$
即$\frac{a + b}{b} \leq \frac{c + d}{d}$

3.(对应题型三)已知$a$,$b$,$c$,$d$为实数,判断下列命题的真假,并说明理由。
(1)如果$ab ＞ ac$,那么$b ＞ c$；
(2)如果$a ＞ b$,$\frac{1}{c} ＞ \frac{1}{d}$,那么$\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{d}$；
(3)如果$\frac{b}{a} ＞ \frac{d}{c}$,那么$bc ＞ ad$。

答案： 【解析】：本题考查不等式的性质。需要根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变的性质来判断各命题的真假。
（1）当$a\lt0$时，不等式$ab\gt ac$两边同时除以$a$，不等号方向改变，得$b\lt c$，所以该命题为假命题。
（2）例如$a=3$，$b=2$，$c=-1$，$d=-2$，此时$a\gt b$，$\frac{1}{c}=-1\gt\frac{1}{d}=-\frac{1}{2}$不成立，换一组数$a=3$，$b=2$，$c=1$，$d=2$，则$\frac{a}{c}=3$，$\frac{b}{d}=1$，此时$\frac{a}{c}\gt\frac{b}{d}$，但若$c=-1$，$d=-2$，$a=3$，$b=2$，则$\frac{1}{c}=-1\gt\frac{1}{d}=-\frac{1}{2}$不成立，再取$a=3$，$b=2$，$c=-2$，$d=-1$，此时$\frac{1}{c}=-\frac{1}{2}\gt\frac{1}{d}=-1$，而$\frac{a}{c}=-\frac{3}{2}$，$\frac{b}{d}=-2$，则$\frac{a}{c}\gt\frac{b}{d}$，若$a=1$，$b=-1$，$c=1$，$d=-1$，则$\frac{1}{c}=1\gt\frac{1}{d}=-1$，$\frac{a}{c}=1$，$\frac{b}{d}=1$，此时$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$，所以该命题为假命题。
（3）当$ac\lt0$时，不等式$\frac{b}{a}\gt\frac{d}{c}$两边同时乘以$ac$，不等号方向改变，得$bc\lt ad$，所以该命题为假命题。
【答案】：（1）假命题，理由：当$a\lt0$时，由$ab\gt ac$得$b\lt c$；
（2）假命题，理由：例如$a=1$，$b=-1$，$c=1$，$d=-1$，满足$a\gt b$，$\frac{1}{c}\gt\frac{1}{d}$，但$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=1$；
（3）假命题，理由：当$ac\lt0$时，由$\frac{b}{a}\gt\frac{d}{c}$得$bc\lt ad$。

4.(对应题型四)已知$2 ＜ m ＜ 4$,$3 ＜ n ＜ 5$,求下列各式的取值范围。
(1)$m + 2n$；
(2)$m - n$；
(3)$mn$；
(4)$\frac{m}{n}$。

答案： 【解析】：本题考查不等式的性质。对于（1），先根据n的范围求出2n的范围，再与m的范围相加；（2）先求出-n的范围，再与m的范围相加；（3）利用不等式同向同正可乘性，分别求出m和n的范围后相乘；（4）先求出1/n的范围，再与m的范围相乘。
（1）因为3＜n＜5，所以6＜2n＜10，又2＜m＜4，两式相加得8＜m + 2n＜14；
（2）因为3＜n＜5，所以-5＜-n＜-3，又2＜m＜4，两式相加得-3＜m - n＜1；
（3）因为2＜m＜4，3＜n＜5，所以2×3＜mn＜4×5，即6＜mn＜20；
（4）因为3＜n＜5，所以1/5＜1/n＜1/3，又2＜m＜4，所以2×(1/5)＜m/n＜4×(1/3)，即2/5＜m/n＜4/3。
【答案】：（1）8＜m + 2n＜14；（2）-3＜m - n＜1；（3）6＜mn＜20；（4）2/5＜m/n＜4/3。