《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1] 判断下列语句是否为命题？若是,请判断其真假,并说明理由。
(1)$\frac{\pi}{6}$是有理数；
(2)$2x^{2}\leq7$；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)若$x\in\mathbf{R}$,则$2x^{2}+4x + 7\geq0$；
(5)一个数的算术平方根一定是负数；
(6)若$a与b$是无理数,则$ab$是无理数。

答案： 思维启迪 用命题的定义进行判断。
解：
(1)“$\frac{\pi}{6}$是有理数”是陈述句,并且能够判断它是假的,所以它是命题。
(2)因为无法判断“$2x^{2}\leq7$”的真假,所以它不是命题。
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句,所以它不是命题。
(4)“若$x\in\mathbf{R}$,则$2x^{2}+4x + 7\geq0$”是陈述句,因为$2x^{2}+4x + 7 = 2(x + 1)^{2}+5\gt0$,所以它是命题,且为真命题。
(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句,并且能够判断它是假的,所以它是命题。
(6)“若$a与b$是无理数,则$ab$是无理数”是陈述句。例如$a = b= \sqrt{2}$是无理数,但$ab = 2$是有理数,所以它是命题,且为假命题。
[反思归纳] 能够判断真假的陈述句才是命题,判断一个命题是真命题,要给出严格的证明,判断一个命题是假命题,只要举出一个反例即可。

[例2] 下列各组中,$p是q$的什么条件？
(1)$p$：四边形$ABCD$的四条边等长,$q$：四边形$ABCD$是正方形；
(2)$p$：$\triangle ABC与\triangle DEF$全等,$q$：$\triangle ABC与\triangle DEF$的周长相等；
(3)$p$：$x是2$的倍数,$q$：$x是6$的倍数；
(4)$p$：集合$A\subseteq B$,$B\subseteq C$,$C\subseteq A$,$q$：集合$A = B = C$；
(5)$p$：$A\cap B = A\cap C$,$q$：$B = C$。

答案： 思维启迪 结合具体数学知识,尝试由$p推q$,由$q推p$能否成立,然后下结论。
解：
(1)若四边形$ABCD$的四条边等长,四边形$ABCD$不一定是正方形,如菱形；反之,若四边形$ABCD$是正方形,则其四条边等长,所以$p是q$的必要不充分条件。
(2)若$\triangle ABC与\triangle DEF$全等,则$\triangle ABC与\triangle DEF$的周长相等；反之,若$\triangle ABC与\triangle DEF$的周长相等,两个三角形不一定全等,所以$p是q$的充分不必要条件。
(3)若$x是2$的倍数,则$x不一定是6$的倍数,如$x = 4$；反之,若$x是6$的倍数,则$x一定是2$的倍数,所以$p是q$的必要不充分条件。
(4)若$A\subseteq B$,$B\subseteq C$,则$A\subseteq C$,又由$C\subseteq A$,得$A = C$,同理可得$A = B$,所以$A = B = C$；反之,若$A = B = C$,一定有$A\subseteq B$,$B\subseteq C$,$C\subseteq A$,所以$p是q$的充要条件。
(5)当$A\subseteq B且B\subseteq C$时,有$A\cap B = A\cap C$,但$B与C$不一定相等；反之,若$B = C$,一定有$A\cap B = A\cap C$,所以$p是q$的必要不充分条件。
[反思归纳]
(1)判断的前提是认清谁是$p$,谁是$q$；
(2)判断$p\Rightarrow q$是否成立。若成立,需经过推理证明；若不成立,可举反例；
(3)判断$q\Rightarrow p$是否成立。若成立,需经过推理证明；若不成立,可举反例；
(4)下结论。